[sofia]

Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo orden y N la correspondiente a la matriz nula. Si A*B=N y A es inversible entonces

A. Det B \( \neq \) 0
B. B = N
C. B es inversible.

Estoy entre la A y la B, porque se supone que A.B=N no implica que A=N y B=N.

[sugata]

El producto de los determinantes te da la respuesta.
Como A es invertible, tiene determinante no nulo.
\( |A||B|=|N|\\|A||B|=0 \)
Como \( |A|\neq 0 \) sólo puede ser que \( |B|=0 \)

[sofia]

Gracias

[robinlambada]

Hola.

Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo orden y N la correspondiente a la matriz nula. Si A*B=N y A es inversible entonces

A. Det B \( \neq \) 0
B. B = N
C. B es inversible.

Estoy entre la A y la B, porque se supone que A.B=N no implica que A=N y B=N.

La respuesta correcta es la B.

Es cierto que en general que  \( A\cdot{}B=N \) no implica que \( A=N \) o \( B=N \).

Esto ocurre cuando las matrices \( A \) y \( B \) no son invertibles., por ejemplo:

\( \begin{pmatrix}{0}&{0}\\{0}&{1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{1}&{0}\\{0}&{0}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{0}&{0}\\{0}&{0}\end{pmatrix} \)


Pero con que una sea invertible la cosa cambia, que es el caso que nos ocupa, A es invertible, existe \( A^{-1} \)

Por tanto:  \( A\cdot{}B=0 \) ;  \( (A^{-1}A)\cdot{}B=A^{-1}\cdot{}0\Rightarrow{}B=0 \) , entonces la matriz \( B \) es nula.

Por ello además de ser \( |B|=0 \) , tenemos que \( B=0 \)

Saludos.

[feriva]

Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo orden y N la correspondiente a la matriz nula. Si A*B=N y A es inversible entonces

A. Det B \( \neq \) 0
B. B = N
C. B es inversible.

Estoy entre la A y la B, porque se supone que A.B=N no implica que A=N y B=N.

Hola.

Tal y como está escrita la primera no queda demasiado claro a qué se refiere. Si esa “A” es la matriz “A” y no su determinante (que es lo que hay que interpretar, porque no pones “det” delante y en la otra sí) sería distinto de verdad, porque si escribes cero así, 0, es un escalar, no la matriz cero. Tienes que ponerle algo para distinguirlo; una rayita encima o algo.

Para la tercera tienes un teorema que dice que \( ran(AB)\leq min(ran(A);ran(B))
  \). Esto quiere decir que aunque la matriz C fuera invertible (no dice si lo es o no, es cualquiera) el rango de la matriz producto sería menor y, por tanto, CB no sería invertible, ya que, como mucho tendría el rango de B, cuyo determinante es cero por lo que ya te había anticipado Sugata.

En cuanto al porqué de la respuesta correcta ya ha contestado Robin.

Saludos.

[sugata]

Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo orden y N la correspondiente a la matriz nula. Si A*B=N y A es inversible entonces

A. Det B \( \neq \) 0
B. B = N
C. B es inversible.

Estoy entre la A y la B, porque se supone que A.B=N no implica que A=N y B=N.

Hola.

Tal y como está escrita la primera no queda demasiado claro a qué se refiere. Si esa “A” es la matriz “A” y no su determinante (que es lo que hay que interpretar, porque no pones “det” delante y en la otra sí) sería distinto de verdad, porque si escribes cero así, 0, es un escalar, no la matriz cero. Tienes que ponerle algo para distinguirlo; una rayita encima o algo.

Feriva, creo que confundes el apartado A, con la matriz A.

[feriva]

Feriva, creo que confundes el apartado A, con la matriz A.

Ah, perdón, creí que el punto lo usaba como signo de multiplicar; a veces hay quien lo usa así.

Gracias. Saludos.

[robinlambada]

Feriva, creo que confundes el apartado A, con la matriz A.

Si y  también el apartado B y C con matrices B y C.

¿Es que no has leído?

Estoy entre la A y la B, porque se supone que .....

La respuesta correcta es la B.

Es lo primero que digo 

No tiene ningún sentido que si \( det(B)=0 \), sea \( A\cdot{}det(B)\neq0 \)  independientemente de si estamos hablando de A o su determinante, Pero el determinante de \( A \) , se suele denotar por \( det(A) \) o \( |A| \) pero nunca por \( A \).

Pero me deja muy descolocado este comentario que haces:

En cuanto al porqué de la respuesta correcta ya ha contestado Robin.

Los tres que hemos participado no hemos advertido ninguna ambigüedad en el ejercicio.

Lo digo por que me gustaría que leyeras con atención los menajes antes de responder ya que sueles interpretar mal las cuestiones que se plantean y últimamente parece que más de lo habitual.

Lo digo por:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=115987.msg462650#msg462650

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=115980.msg462533#msg462533

En este enlace Luis sospecha que no has entendido nada de lo que pide el problema y tu le respondes que en efecto.

Tienes todo el derecho del mundo en intervenir en cualquier hilo, pero si en uno determinado eres consciente que no has entendido lo que se pide ( como en este anterior que se lo has confirmado a Luis)  no es lógico que respondas como si lo hubieras entendido y supieras lo que hacer, lo normal es que si no tienes claro un enunciado o una frase de un mensaje, preguntes para que se aclare tu duda, pero si te lanzas a responder (de forma aparentemente segura) a sabiendas que no entiendes lo que se está diciendo, entones confundes y oscureces el hilo. Repito que no es que no participes, si no que:
o que respondas a la cuestión  indicando previamente lo que no te queda claro y con las reservas que eso conlleva
o que resuelvas tus dudas previamente antes de responder y dar tu opinión.

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=115950.msg462258#msg462258

En este último en el que comentas que es a lo mejor el enunciado esta escrito de forma muy criptica, solo lo percibes tu.

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=115811.msg461445#msg461445

En este geometracat de comenta cree que estás mezclando números reales y análisis "estándar" con infinitésimos (números hiperreales) y análisis no estándar.

Ya hace no demasiado te sugerí que fueras más reflexivo antes de intervenir en hilos.

Puede que no confunda como dices, pero si es largo y pesado como afirmas, aunque sea sencillo, no aporta nada. Entiendo que no te habías percatado que con un simple vistazo y de forma inmediata se obtiene el numerador, pues sabemos por que factor hemos multiplicado el denominador ( por ello lo has escrito lógicamente), pero me cuesta creer que no te hayas percatado de ese detalle, no es que "mi" forma sea más fácil, es que es inmediata y creía que evidente, pero parece que para ti no.

No tiene mayor importancia.

 Un abrazo y gracias por tu buen talante.

Te explico con detalle lo que ha pasado.

Como soy muy bohemio, yo miro la página principal a saltos, no ordenadamente de arriba abajo ni nada así (bueno, también a veces).

Que es una cita de este hilo resuelto.
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=115289.msg458115#msg458115


Lo que me sorprendió bastante es la respuesta que he marcado en negro en mi cita de arriba.

¿No crees que si lees las páginas a saltos sin orden, es muy fácil que al responder cometas errores y sin sentidos?

P.D.: Ten por sentado que eres entrañable en el foro  para moderadores y administradores, pero también te comento que no soy el único que cree que deberías  moderarte más o al menos ser más reflexivo y prudente al responder. Te recomiendo si me permites que empieces leyendo ordenadamente los mensajes.

[feriva]

¿No crees que si lees las páginas a saltos sin orden, es muy fácil que al responder cometas errores y sin sentidos?

P.D.: Ten por sentado que eres entrañable en el foro  para moderadores y administradores, pero también te comento que no soy el único que cree que deberías  moderarte más o al menos ser más reflexivo y prudente al responder. Te recomiendo si me permites que empieces leyendo ordenadamente los mensajes.

Bueno, te prometo que lo intentaré; pero no te puedo decir que no vuelva a ocurrir nunca, porque soy como soy.

Lo que dices es la pura verdad, Robin, eso no se puede negar.


Saludos.