[Xtimmler]

Hola, foro
tengo el siguiente problema de física básica:
Una esfera rueda cuesta abajo sobre un carril que luego forma un círculo vertical, desde una altura h
respecto del punto más bajo del círculo. Mostrar que el valor más pequeño de \( h \) que satisface la condición
que la esfera no abandone el carril en su parte más alta es:
                                                                                                          \( h=\displaystyle\frac{27}{10}R-\displaystyle\frac{17}{10}r \)

Por trabajo y energía me da \( h>\displaystyle\frac{11R}{4}-\displaystyle\frac{7r}{4} \)
no sé si es problema de redondeo o si entendí todo mal.

Saludos
Editado por la moderación

[robinlambada]

Hola:

Hola, foro
tengo el siguiente problema de física básica:



Por trabajo y energía me da \( h>\displaystyle\frac{11R}{4}-\displaystyle\frac{7r}{4} \)
no sé si es problema de redondeo o si entendí todo mal.

Saludos

Si suponemos que se conserva la energía, la respuesta correcta es  la que dan en el problema.

Dinos que has hecho para poder ayudarte en lo posible.

De todas formas 2 consideraciones importantes:

1ª La altura del centro de masas de la esfera el lo alto del loop es \( 2R-r \)

2ª En ese punto más alto de la trayectoria la normal es cero, por tanto el peso es igual a la fuerza centrípeta y ojo pues es la circunferencia que describe  el centro de masas en su trayectoria tiene un radio de \( R-r \)

Por último ten en cuenta que como la rodadura es perfecta tenemos que la velocidad de centro de masas es  \( V_c=-\omega \cdot{}r \)
Con estas consideraciones te da el resultado esperado.

Por cierto, para dibujos aclaratorios  está permitido poner imágenes, pero el texto del enunciado del problema se debe poner a mano.

Saludos.

[Xtimmler]

Si suponemos que se conserva la energía, la respuesta correcta es  la que dan en el problema.

Dinos que has hecho para poder ayudarte en lo posible.

Te paso mi desarrollo:

\( N+ mg = m\vec{a} \)
\( mg = m\vec{a} \)
\( g = \vec{a} \)
\( \vec{a} = \displaystyle\frac{\vec{v}^2}{R-r} \)
\( \vec{v}^2 = (R-r)g \)

\( mgh = \displaystyle\frac{1}{2}m\vec{v}^2+\displaystyle\frac{1}{2}(\displaystyle\frac{1}{2}mr^2 ω^2) + mg(2R-r) \)
\( mg(h-2R+r)=\displaystyle\frac{1}{2}m\vec{v}^2+\displaystyle\frac{1}{4}m\vec{v}^2 \)
\( mg(h-2R+r)=\displaystyle\frac{3}{4}m\vec{v}^2 \)
\( g(h-2R+r)=\displaystyle\frac{3}{4} (R-r)g \)
\( (h-2R+r)=\displaystyle\frac{3}{4}R - \displaystyle\frac{3}{4}r \)
\( h=\displaystyle\frac{3}{4}R+2R - \displaystyle\frac{3}{4}r-r \)
\( h=\displaystyle\frac{11}{4}R - \displaystyle\frac{7}{4}r \)

Cualquier error decime.
Saludos.

[robinlambada]

Si suponemos que se conserva la energía, la respuesta correcta es  la que dan en el problema.

Dinos que has hecho para poder ayudarte en lo posible.

Te paso mi desarrollo:

\( N+ mg = m\vec{a} \)
\( mg = m\vec{a} \)
\( g = \vec{a} \)
\( \vec{a} = \displaystyle\frac{\vec{v}^2}{R-r} \)
\( \vec{v}^2 = (R-r)g \)

\( mgh = \displaystyle\frac{1}{2}m\vec{v}^2+\displaystyle\frac{1}{2}(\color{red}\displaystyle\frac{1}{2}\color{black}mr^2 ω^2) + mg(2R-r) \)
\( mg(h-2R+r)=\displaystyle\frac{1}{2}m\vec{v}^2+\displaystyle\frac{1}{4}m\vec{v}^2 \)
\( mg(h-2R+r)=\displaystyle\frac{3}{4}m\vec{v}^2 \)
\( g(h-2R+r)=\displaystyle\frac{3}{4} (R-r)g \)
\( (h-2R+r)=\displaystyle\frac{3}{4}R - \displaystyle\frac{3}{4}r \)
\( h=\displaystyle\frac{3}{4}R+2R - \displaystyle\frac{3}{4}r-r \)
\( h=\displaystyle\frac{11}{4}R - \displaystyle\frac{7}{4}r \)

Cualquier error decime.
Saludos.

Tu error no es grave, solo que has puesto mal el momento de inercia, ha usado el de un cilindro y el problema te dice que es una esfera

Por tanto \( I=\displaystyle\frac{2}{5}Mr^2 \)

Saludos.
P.D.: lo que marque en rojo está mal.

[robinlambada]

Por esta vez se ha corregido el enunciado por la moderación, espero que el resto de veces lo hagas tú

Saludos.

[Richard R Richard]

Planteas la conservación de la energía


\( mgh=mg(2R-r)+\dfrac 12 mv^2+\dfrac 12 I\omega^2 \)


el momento de inercia de la esfera es \( I=\dfrac25 mr^2 \)


cuando la normal se hace nula en la parte superior del loop el equilibrio de fuerzas por Newton te devuelve


\( \cancel {m} g=\cancel {m}\dfrac{v^2}{R-r} \)


ademas la rodadura aporta la relación


\( \omega=\dfrac vr \)


reemplazando en la primer ecuación


\( \cancel {mg} h=\cancel {mg}(2R-r)+(\dfrac 12+\dfrac {1}{\cancel 2}\dfrac {\cancel 2}{5})\cancel {mg}(R-r) \)


en limpio\( h=2R-r+\dfrac{7}{10}(R-r) \)


\( h=\dfrac{27}{10}R-\dfrac{17}{10}r\quad \therefore cqd \)

[Xtimmler]

Tu error no es grave, solo que has puesto mal el momento de inercia, ha usado el de un cilindro y el problema te dice que es una esfera

Por tanto \( I=\displaystyle\frac{2}{5}Mr^2 \)

Saludos.
P.D.: lo que marque en rojo está mal.

Planteas la conservación de la energía


\( mgh=mg(2R-r)+\dfrac 12 mv^2+\dfrac 12 I\omega^2 \)


el momento de inercia de la esfera es \( I=\dfrac25 mr^2 \)


cuando la normal se hace nula en la parte superior del loop el equilibrio de fuerzas por Newton te devuelve


\( \cancel {m} g=\cancel {m}\dfrac{v^2}{R-r} \)


ademas la rodadura aporta la relación


\( \omega=\dfrac vr \)


reemplazando en la primer ecuación


\( \cancel {mg} h=\cancel {mg}(2R-r)+(\dfrac 12+\dfrac {1}{\cancel 2}\dfrac {\cancel 2}{5})\cancel {mg}(R-r) \)


en limpio\( h=2R-r+\dfrac{7}{10}(R-r) \)


\( h=\dfrac{27}{10}R-\dfrac{17}{10}r\quad \therefore cqd \)

Gracias a ambos