[Pie]

Buenas. Se me ha ocurrido un problema que no sé si tiene solución.

Sea \(  P(n)  \) un polinomio de la forma: \( an^2 + bn + c \), con \( a \), \( b \) y \( c \leq{10} \) (y \( \geq{1} \) se entiende).

¿Cuál es la probabilidad de que un polinomio de esta forma (con los coeficientes elegidos al azar) se pueda factorizar por completo?

¿Podría obtenerse una solución general? (si en vez de \( 10 \) la cota de los coeficientes fuera \( x \))

PD. Con \( a \), \( b \) y \( c \) \( \in{\mathbb{N}} \).

Saludos.

[Fernando Revilla]

Sea \(  P(n)  \) un polinomio de la forma: \( an^2 + bn + c \), con \( a \), \( b \) y \( c \leq{10} \) (y \( \geq{1} \) se entiende). ¿Cuál es la probabilidad de que un polinomio de esta forma (con los coeficientes elegidos al azar) se pueda factorizar por completo?
¿Podría obtenerse una solución general? (si en vez de \( 10 \) la cota de los coeficientes fuera \( x \))

Supongo que \( a,b,c \) son reales y que nos referimos a factorización en \( \mathbb{R} \) pues en \( \mathbb{C} \) siempre es posible. Tal factorización es posible sí y sólo si \( (a,b,c) \) está en la zona \( S \): \( b^2-4ac\ge 0 \) con los \( a,b,c \) en el intervalo \( [1,10] \). La probabilidad de factorización sería el cociente entre el volumen en el espacio \( abc \) de \( S \) y el volumen de \( [1,10]^3 \).

[Pie]

Sea \(  P(n)  \) un polinomio de la forma: \( an^2 + bn + c \), con \( a \), \( b \) y \( c \leq{10} \) (y \( \geq{1} \) se entiende). ¿Cuál es la probabilidad de que un polinomio de esta forma (con los coeficientes elegidos al azar) se pueda factorizar por completo?
¿Podría obtenerse una solución general? (si en vez de \( 10 \) la cota de los coeficientes fuera \( x \))

Supongo que \( a,b,c \) son reales y que nos referimos a factorización en \( \mathbb{R} \) pues en \( \mathbb{C} \) siempre es posible. Tal factorización es posible sí y sólo si \( (a,b,c) \) está en la zona \( S \): \( b^2-4ac\ge 0 \) con los \( a,b,c \) en el intervalo \( [1,10] \). La probabilidad de factorización sería el cociente entre el volumen en el espacio \( abc \) de \( S \) y el volumen de \( [1,10]^3 \).

Justo ahora iba a editar para aclarar que me refería a coeficientes enteros (y factorización en \( \mathbb{Z} \)). Perdón por el despiste. De todos modos gracias por la solución en los reales.

Saludos.