[lindtaylor]

Sea \( S_n \) el grupo simétrico actuando transitivamente sobre un conjunto de \( m \) elementos. Supongamos que \( h\geq 5  \)y que \( m>2 \). Pruebe que \( m\geq n. \)

Hola, estoy intentando resolver este problema. Me recomendaron estudiar la acción de \(  S_n \) sobre el conjunto de \( m \) elementos para posteriormente analizar el grupo cociente que se forma pero no logro dar con la solución.
Tengo lo siguiente como punto de partida.

Supongamos que \( m<n \). Sea \( S_n\times \left\{1,\ldots, m\right\}\to \left\{1,\ldots,m\right\} \) acción transitiva. Esta acción entrega un homomorfismo
\( \phi:S_n\to \sum_{1,\ldots,m}\simeq S_m \) donde \( \sum_{1,\ldots,m} \) es el grupo de biyecciones de los \( m \) elementos. Por el 1er Teo. de Isomorfía, \( S_n/\ker(\phi)\simeq \phi(S_n)<S_m. \) Por Lagrange, \( |S_n/\ker(\phi)|\mid m! \), es decir, \( n!/|\ker(\phi)|\mid m! \) así \( n!/|\ker(\phi)|\leq m! \)
Como \( m<n \) entonces \( m!<n! \). Se concluye que \( |\ker(\phi)|>1. \)
Por lo tanto, \( |S_n/\ker(\phi)|\in\left\{1,2\right\} \) ya que \( \ker(\phi) \) es normal en \( S_n \).
Por lo anterior, \( S_n/\ker(\phi)=\left\{\ker(\phi),\sigma\ker(\phi)\right\} \) algún \( (1)\neq\sigma\in S_n. \)

Es lo que tengo hasta el momento. Hasta el momento no he usado que la acción es transitiva ni que \( m>2 \).

[geómetracat]

Está mal.

Spoiler

Si \[ G \] es un grupo actuando en un conjunto \[ X \], y \[ x\in X \] es un punto cualquiera, hay una biyección \[ G/G_x \cong O(x) \], donde \[ O(x) \] es la órbita de \[ x \], y \[ G_x=\{g\in G \mid g\cdot x =x \} \] es el subgrupo de isotropía de \[ x \] (que es normal en \[ G \]).

En tu caso como la acción es transitiva la órbita de cualquier elemento tiene \[ m \] elementos. Por otro lado, como \[ A_n \] con \[ n\geq 5 \] es simple, hay tres opciones para el \[ S_n/G_x \]. O bien es \[ S_n \] y tiene cardinal \[ n! \], o bien es \[ A_n \] y tiene cardinal \[ n!/2 \], o bien se tiene \[ G_x=S_n \], pero esta última se descarta porque entonces la acción no sería transitiva si \[ m>1 \].
En definitiva, o bien \[ n!=m \] o bien \[ n!/2=m \]. Esto junto con \[ n\geq 5 \] te da el resultado.

Añadido:
Puse la directa al ver el enunciado, pero con lo que has hecho también sale. Que la acción es transitiva y que \[ m>2 \] (yo diría que basta con \[ m \geq 2 \]) es para descartar que \[ \ker(\phi)=S_n \].
Entonces con lo que tienes te acaba quedando o bien \[ n!\mid m! \] o bien \[ n!/2 \mid m! \]. Cualquiera de estas condiciones, con \[ n\geq 5 \] implica que \[ m \geq n \]. Aunque las condiciones que obtienes son más débiles que como lo he hecho antes.

[cerrar]

[lindtaylor]

hay tres opciones para el \[ S_n/G_x \]. O bien es \[ S_n \] y tiene cardinal \[ n! \], o bien es \[ A_n \] y tiene cardinal \[ n!/2 \]

¿Por qué \( |S_n/G_x|=n!/2 \)? por lo que veo es el caso cuando \( G_x=A_n \) pero en ese caso \( |S_n/G_x|=|n!/(n!/2)|=2. \)
 

También leí que \( G_x  \) (el estabilizador) no es necesariamente normal en un grupo \( G \). ¿En este caso es normal porque la acción es transitiva?

[geómetracat]

Perdona, lo que dije estaba mal. Tienes razón en lo que dices, el estabilizador no tiene por qué ser normal.

La manera correcta de hacerlo es como apuntabas en el primer mensaje.
Tienes la aplicación \[ \phi:S_n \to S_m \] cuyo núcleo \[ \ker(\phi) \] es o bien \[ 0 \], o bien \[ A_n \] o bien \[ S_n \].
En el primer caso \[ \phi \] es inyectiva, luego \[ n!\mid m! \] de donde \[ n\leq m \]. En el segundo caso, tienes que la imagen de \[ \phi \] es un subgrupo de orden \[ 2 \] de \[ S_m \]. Es decir, existen dos elementos \[ i,j \in \{1,\dots,m\} \] tales que cada elemento \[ \sigma \in S_n \] o bien actúa trivialmente en \[ \{1,\dots,m\} \] o bien actúa como la transposición \[ (i j) \]. Pero esto es imposible si la acción es transitiva y \[ m>2 \].
Finalmente el último caso corresponde al caso en que la acción de \[ S_n \] es trivial, imposible de nuevo si la acción es transitiva y \[ m>1 \].

[lindtaylor]

En el caso que \( \ker(\phi)=A_n \) entonces \( \phi(S_n) \) tiene orden 2, es decir, \( \phi(S_n)=\left\{(1),(ij)\right\} \) para algún \( i,j \in\left\{1,\ldots, m\right\} \). No logro entender porque para cada \( \sigma\in S_n, \sigma \) actúa trivialmente en \( \left\{1,\ldots,m\right\}  \) o bien actúa como \( (ij). \)

Creo que tiene que ver con lo siguiente:

\( S_n=\ker(\phi)\cup \tau \ker(\phi) \) para algún \( \tau\neq (1) \) y \( \tau^2=(1) \) (Ya que \( S_n/\ker(\phi) \) tiene orden 2)
Entonces para cada \( \sigma\in S_n, \sigma\in \ker(\phi) \) o bien \( \sigma\in \tau\ker(\phi) \). Esto debe calzar con lo que dices, pero no logro ver los detalles.

Lo acabo de entender. Como la acción es transitiva \( orb(i)=\left\{1,\ldots, m\right\}. \) En el primer caso, \( orb(i)=i  \), y en el otro \( orb(i)=j \) contradicción en ambos casos.

El hecho que \( \ker(\phi), \tau\ker(\phi) \) con \( \tau^2=(1)  \) se comporten como \( (1) \) y \( (ij) \) en \( S_m \) viene dada por la isomorfía de \( S_n/\ker(\phi) \) con \( \phi(S_n). \)

[geómetracat]

Básicamente es eso, pero hay algunos detalles que no están del todo bien. Si escribes el cociente \[ S_n/\ker(\phi) \] como \[ \{\ker(\phi),\tau\ker(\phi)\} \] en principio puede pasar que \[ \tau^2\neq 1 \]. Lo que sí debes tener es que \[ \tau^2 \in \ker(\phi) \].

Ahora, como tienes un isomorfismo \[ S_n/\ker(\phi)\cong \phi(S_n) \], en este caso la imagen tiene orden \[ 2 \] en \[ S_m \], luego está generada por una transposición \[ (i j) \].

Dado un \[ \sigma \in S_n \], si \[ \sigma \in \ker(\phi) \] entonces \[ \phi(\sigma)=1 \] lo que quiere decir que \[ \sigma \] actúa trivialmente en \[ \{1,\dots,m\} \]. Si en cambio \[ \sigma \in \tau \ker(\phi) \] entonces \[ \phi(\sigma)=\phi(\tau)=(i j) \] y actúa como la transposición de dos números.

Por otro lado, dices:

Lo acabo de entender. Como la acción es transitiva \( orb(i)=\left\{1,\ldots, m\right\}. \) En el primer caso, \( orb(i)=i  \), y en el otro \( orb(i)=j \) contradicción en ambos casos.

Si estamos en el supuesto de que \[ S_n/\ker(\phi) \] tiene orden \[ 2 \], la órbita es una sola. La órbita de un elemento es la imagen por todos los elementos del grupo. Lo que tienes entonces es que si \[ k\neq i,j \], \[ orb(k)=\{k\} \] (porque todos los elementos de \[ S_n \] dejan fijo a \[ k \]) y por otro lado \[ orb(i)=orb(j)=\{i,j\} \]. Pero esto contradice la transitividad si \[ m>2 \].