Dado un grafo orientado con \( Q_0 \) y \( Q_1 \) sus conjuntos de vértices y aristas respectivamente y \( K \) un anillo conmutativo, se define una \( K \)-representación de \( Q \) como un par
\( V=\left[ \{V_i\}_{i \in Q_0}, \{V(\alpha)\}_{i \in Q_1} \right] \)
donde \( V_i \) es un \( K \)-módulo para cada \( i \in Q_0 \) y \( V(\alpha): V_{s(\alpha)} \longrightarrow V_{t(\alpha)} \) es un homomorfismo de \( K \)-módulos.
Ahora, podemos definir una categoría \( \operatorname{Rep}_K(Q) \) con las \( K \)-representaciones de \( Q \) como objetos y los morfismos \( f:V \longrightarrow W \) siendo una familia \( f=\{f_i\}_{i \in Q_0} \) tal que cada \( f_i \) es un homomorfismo de \( K \)-módulos entre \( V_i \) y \( W_i \) satisfaciendo
\( f_{t(\alpha)} \circ V(\alpha) = W(\alpha) \circ f_{s(\alpha)} \)
para cada \( \alpha \in Q_1 \).
Ahora, lo que intento probar es lo siguiente:
Dado \( f:V \longrightarrow W \) un morfismo en la categoría \( \operatorname{Rep}_K(Q) \) son equivalentes:
- \( f \) es una sección
- \( f_i:V_i \longrightarrow W_i \) es un monomorfismo en \( K-\operatorname{Mod} \) para cada \( i \in Q_0 \) y existe un \( K \)-submódulo \( W_i' \) de \( W_i \) tal que \( W_i= \operatorname{Im}(f_i) \oplus W_i' \) y para cada \( \alpha \in Q_1 \), \( W(\alpha)\left(W_{s(\alpha)}'\right) \subset W_{t(\alpha)}' \)
- Existe una \( K \)-representación \( U \) de \( Q \) y un morfismo \( g: U \longrightarrow W \) en \( \operatorname{Rep}_K(Q) \) tal que el morfismo inducido en el coproducto \( V \sqcup U \longrightarrow W \) es un isomorfismo.
He conseguido demostrar que \( 1 \) implica \( 2 \) pero estoy teniendo problemas con el resto de implicaciones.
Respecto a \( 2 \) implica \( 3 \) he definido
\( U=\left[ \{W_i'\}_{i \in Q_0}, \{U(\alpha)\}_{i \in Q_1} \right] \)
con \( U(\alpha): W_{s(\alpha)}' \longrightarrow W_{t(\alpha)}' \) tal que \( U(\alpha)(x)=W(\alpha)(x) \).
Por \( 2 \) entonces \( U \) está bien definida y es una \( K \)-representación de \( Q \).
Por otra parte, he definido \( g: U \longrightarrow W \) tal que \( g_i \) es la inclusión de \( U_i=W_i' \) en \( W_i \) para cada \( i \in Q_0 \) el cual es un morfismo en \( \operatorname{Rep}_K(Q) \).
La razón de estas definiciones es que de manera intuitiva creo que son las que pueden satisfacer \( 3 \), pero no consigo demostrarlo completamente.
Lo que he intentado es considerar \( h: V \sqcup U \longrightarrow W \) como el único morfismo en \( \operatorname{Rep}_K(Q) \) tal que
\( f=h \circ q_1 \)
\( g=h \circ q_2 \)
donde \( q_1: V \longrightarrow V \sqcup U \) y \( q_2: U \longrightarrow V \sqcup U \) son las inyecciones del coproducto, y lo que se pide en \( 3 \) es probar que es un isomorfismo.
Para ello he definido \( \bar h: W \longrightarrow V \sqcup U \) tal que \( \bar h_i: W_i \longrightarrow (V \sqcup U)_i \) viene dado por
\( \bar h_i (x)= \left\{ \begin{array}{lcc}
(q_1)_i\left( f_i^{-1}(x) \right) & \mathrm{if} & x \in \operatorname{Im}(f_i) \\
(q_2)_i\left( g_i^{-1}(x) \right) & \mathrm{if} & x \in W_i'
\end{array}
\right. \)
pues nuevamente creo de forma intuitiva que es la inversa de \( h \) en \( \operatorname{Rep}_K(Q) \), pero no he sido capaz de probar esto y ni si quiera de ver que \( \bar h \) realmente sea un morfismo en dicha categoría.
Si piensan que este camino es el correcto para esta implicación, ¿alguien sabe como completar la prueba? Y en caso de que lo que he descrito no sea correcto, ¿cómo podría demostrarse esta implicación?
Por último, para la implicación de \( 3 \) a \( 1 \) ni si quiera he sido capaz de hallar un candidato a inversa por la izquierda de \( f \) con lo que también cualquier ayuda será muy apreciada.
Un saludo y muchas gracias por las respuestas.
