Hola, Pie.
Si no me he equivocado, puedes transformarlo en un polinomio de dos variables (creo que se le puede llamar así) con potencias enteras
\( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\sqrt{x+1}+1}{\dfrac{x}{2}+\sqrt{2x+1}}=}}
\)
\( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\sqrt{x+1}+1}{\dfrac{x+2\sqrt{2x+1}}{2}}=}}
\)
\( {\displaystyle {\displaystyle \frac{2\sqrt{x+1}+2}{x+2\sqrt{2x+1}}=y}}
\)
Entonces
\( {\displaystyle {\displaystyle 2\sqrt{x+1}+2=xy+2y\cdot\sqrt{2x+1}}}
\)
\( {\displaystyle {\displaystyle 2\sqrt{x+1}\cdot(1-y)+2=xy}}
\)
\( {\displaystyle {\displaystyle (1-y)\sqrt{x+1}+1=\dfrac{xy}{2}\Rightarrow}}
\)
Spoiler
Aquí era más fácil haber hecho esto, pero bueno, ya lo tengo escrito de la otra manera
\( {\displaystyle {\displaystyle (1-y)\sqrt{x+1}=\dfrac{xy}{2}-1\Rightarrow}}
\)
\( {\displaystyle {\displaystyle (1-y)\sqrt{x+1}+\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}=\dfrac{xy}{2}\Rightarrow}}
\)
\( {\displaystyle {\displaystyle (1-y)(x+1)+\sqrt{x+1}=\dfrac{xy}{2}\sqrt{x+1}\Rightarrow}}
\)
\( {\displaystyle {\displaystyle (1-y)(x+1)=(\dfrac{xy}{2}-1)\sqrt{x+1}\Rightarrow}}
\)
Elevando al cuadrado en los dos lados y despejando, te queda un polinomio en dos variables con potencias enteras.
\( x^{2}y^{2}-2x^{2}y+x^{2}+2xy^{2}-4xy+2x+y^{2}-2y+1=\dfrac{1}{4}x^{3}y^{2}+\dfrac{1}{4}x^{2}y^{2}-x^{2}y-xy+x+1
\)
Fíajte en que si “y” no tendiera a infinito (supongamos que aún no sabes qué te da el límite) al dividir entre \( x^{3}
\) todo no queda indeterminación; y tendrías que, con \( x\rightarrow\infty
\), entonces \( 0=\dfrac{y^{2}}{4}
\), o sea, y=0. Luego el límite será o bien infinito o bien cero tal como realmente es (si no me he equivocado en las operaciones).
Saludos.
