[manooooh]

Hola!

Tenemos la relación \( \mathcal{R} \) definida en \( (\Bbb{Z}\setminus\{0\})^2 \) donde

\( (a,b)\mathcal{R}(c,d)\iff ad=bc. \)

Sé que las clases de equivalencia son el conjunto \[ [(x,y)]=\left\lbrace(a,b)\in(\Bbb{Z}\setminus\{0\})^2\mid\frac{a}{b}=\frac{x}{y}\right\rbrace \] y el conjunto cociente está definido como:

\( (\Bbb{Z}\setminus\{0\})^2/\mathcal{R}=\{[(x,y)]\mid x\in\Bbb{Z}^+,\;\gcd(x,y)=1\}. \)

Quisiera saber si existe otra forma de representar al conjunto cociente (¿usando desigualdades?, ¿otro conjunto?).

Y cómo serían las clases de equivalencia y el conjunto cociente definido en otros conjuntos numéricos: \( (\Bbb{Q}\setminus\{0\})^2,\;(\Bbb{R}\setminus\{0\})^2 \).

Gracias!!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola!

Tenemos la relación \( \mathcal{R} \) definida en \( (\Bbb{Z}\setminus\{0\})^2 \) donde

\( (a,b)\mathcal{R}(c,d)\iff ad=bc. \)

Sé que las clases de equivalencia son el conjunto \[ [(x,y)]=\left\lbrace(a,b)\in(\Bbb{Z}\setminus\{0\})^2\mid\frac{a}{b}=\frac{x}{y}\right\rbrace \] y el conjunto cociente está definido como:

\( (\Bbb{Z}\setminus\{0\})^2/\mathcal{R}=\{[(x,y)]\mid x\in\Bbb{Z}^+,\;\gcd(x,y)=1\}. \)

Quisiera saber si existe otra forma de representar al conjunto cociente (¿usando desigualdades?, ¿otro conjunto?).

Una forma obvia de representar al conjunto cociente es mediante los racionales (salvo el cero), es decir, utilizar la biyección:

\( (\Bbb Z\setminus\{0\})^2/\mathcal{R}\to \Bbb Q\color{red}\setminus\{0\}\color{black},\quad [(a,b)]\to \dfrac{a}{b} \)

Es inmediato comprobar que esa aplicación está bien definida y que es una biyección.

Y cómo serían las clases de equivalencia y el conjunto cociente definido en otros conjuntos numéricos: \( (\Bbb{Q}\setminus\{0\})^2,\;(\Bbb{R}\setminus\{0\})^2 \).

Es casi igual. Ahora en ambos casos como representante canónico de cada clase puedes tomar \( [(a,1)] \), ya que \( (x,y)\sim (xy^{-1},1) \).

Además los conjuntos cocientes se identifican de manera obvia, respectivamente con \( \Bbb Q\color{red}\setminus\{0\}\color{black} \) y \( \Bbb R\color{red}\setminus\{0\}\color{black} \).

Saludos.

CORREGIDO

[geómetracat]

Un pequeño detalle: el conjunto cociente aquí se identifica de manera natural con \[ \Bbb Q\setminus \{0\} \] porque la relación es en \[ (\Bbb Z \setminus \{0\})^2 \] y no en \[ \Bbb Z \times (\Bbb Z \setminus \{0\}) \].

[Luis Fuentes]

Hola

Un pequeño detalle: el conjunto cociente aquí se identifica de manera natural con \[ \Bbb Q\setminus \{0\} \] porque la relación es en \[ (\Bbb Z \setminus \{0\})^2 \] y no en \[ \Bbb Z \times (\Bbb Z \setminus \{0\}) \].

Si; fue un despiste. ¡Gracias!.

Saludos.

[manooooh]

Hola

Entiendo. Muchas gracias!

Saludos