[athairdos]

Hola; tengo dudas sobre 2 aspectos del espacio afín: las 2 son conceptuales; en todo caso las dejo por si hubiera una respuesta mas o menos directa.

1-El concepto de espacio afín como espacio sin origen, se podría interpretar en el caso de un plano afín \( A_{n} \) del siguiente modo: un plano afín \( A_{n} \) es un espacio al que le falta el punto \( (0, 0, 0) \) (es decir, un punto del infinito)? O dicho de otro modo, el origen que falta en un espacio afín es un punto del infinito (de un espacio proyectivo)?

2-tomando como plano afín al plano z=1, en el mismo se cumple la cuestión de las combinaciones afines: a saber, que los puntos del plano se pueden expresar como combinaciones a partir de coeficientes cuya suma es 1(es decir \( a_{0}x_{0}+...+a_{n}x_{n} \) con
\( \Sigma_{i}a_{i} \)=1)?

Gracias y saludos.

[geómetracat]

1-El concepto de espacio afín como espacio sin origen, se podría interpretar en el caso de un plano afín \( A_{n} \) del siguiente modo: un plano afín \( A_{n} \) es un espacio al que le falta el punto \( (0, 0, 0) \) (es decir, un punto del infinito)? O dicho de otro modo, el origen que falta en un espacio afín es un punto del infinito (de un espacio proyectivo)?

Aquí tienes una confusión. Cuando se habla de manera informal del espacio afín como un "espacio sin origen" no se quiere decir que se obtiene de un espacio con origen al que le has quitado el origen, sino un espacio sin puntos privilegiados. En un espacio vectorial el origen juega un papel especial por ser el neutro para la suma (por ejemplo, todos los subespacios vectoriales deben contener al origen). En un espacio afín, en cambio, todos los puntos juegan el mismo papel, son todos "iguales". Pero no se obtiene un espacio afín a partir de uno vectorial quitándole el origen, sino más bien haciendo que cualquier punto pueda funcionar como origen.
De todos modos, esto son intuiciones un tanto vagas, lo mejor es ver la definición precisa.

Independientemente de esto, puedes pensar un plano afín como un plano proyectivo menos una recta (la recta del infinito). Pero nunca como un plano proyectivo menos un punto. Además, el plano proyectivo tampoco tiene origen, no hay puntoa privilegiados. Por otro lado, el punto \[ (0:0:0) \] no existe en el plano proyectivo (si estás usando coordenadas homogéneas, al menos una coordenada debe ser no nula).

2-tomando como plano afín al plano z=1, en el mismo se cumple la cuestión de las combinaciones afines: a saber, que los puntos del plano se pueden expresar como combinaciones a partir de coeficientes cuya suma es 1(es decir \( a_{0}x_{0}+...+a_{n}x_{n} \) con
\( \Sigma_{i}a_{i} \)=1)?

Pues depende de a qué te refieras con esa notación. Lo que es cierto es que cualquier punto del plano \[ z=1 \] (o de cualquier plano afín) se puede expresar como combinación lineal de tres puntos afinmente independientes con coeficientes que sumen \[ 1 \] (a los coeficientes se les llama coordenadas baricéntricas). Por ejemplo, podemos tomar los puntos \[ p_1=(0,0,1), p_2=(1,0,1),p_3=(0,1,1) \]. Entonces tenemos \[ (x,y,1)=(1-x-y)(0,0,1)+x(1,0,1)+y(0,1,1)=(1-x-y)p_1+xp_2+yp_3 \].

[athairdos]

Gracias!! En contraste con un espacio vectorial, en el que sí existe un origen O (vector nulo, neutro del grupo aditivo) y se puede definir como grupo abeliano respecto de la adición (cerrado para la adición, existencia de neutro e inverso para la adición); un espacio afín no tiene origen ni, por ende, estructura de grupo aditivo.

Una duda (relacionando 2 ideas previas) es si la inexistencia de estructura de grupo aditivo (y origen O) para el caso de un espacio afín \( A_{n} \), se puede vincular con la inexistencia de isomorfismo entre \( R_{2} \) y el conjunto de puntos tales como \( {(x, y, 1)} \) en \( R_{3} \)?

Es decir, si puesto que \( R_{2} \) es un espacio vectorial (de dimensión 2) y por lo tanto grupo aditivo \( (R\times R, +) \) por un lado; y que, además, la aplicación \( R_{2}\rightarrow {(x, y, 1)} \) no es un isomorfismo, todo esto pueda justificar, si quiera de forma no demasiado explícita, el que un subespacio afín no tenga origen (no sea grupo respecto de la adición)?

Saludos

[geómetracat]

Gracias!! En contraste con un espacio vectorial, en el que sí existe un origen O (vector nulo, neutro del grupo aditivo) y se puede definir como grupo abeliano respecto de la adición (cerrado para la adición, existencia de neutro e inverso para la adición); un espacio afín no tiene origen ni, por ende, estructura de grupo aditivo.

Correcto.

Una duda (relacionando 2 ideas previas) es si la inexistencia de estructura de grupo aditivo (y origen O) para el caso de un espacio afín \( A_{n} \), se puede vincular con la inexistencia de isomorfismo entre \( R_{2} \) y el conjunto de puntos tales como \( {(x, y, 1)} \) en \( R_{3} \)?

Es decir, si puesto que \( R_{2} \) es un espacio vectorial (de dimensión 2) y por lo tanto grupo aditivo \( (R\times R, +) \) por un lado; y que, además, la aplicación \( R_{2}\rightarrow {(x, y, 1)} \) no es un isomorfismo, todo esto pueda justificar, si quiera de forma no demasiado explícita, el que un subespacio afín no tenga origen (no sea grupo respecto de la adición)?

Pues no lo veo muy claro. El espacio afín no es isomorfo a un espacio vectorial por el simple hecho de que, por definición, no es un espacio vectorial. Es decir, no es que no exista un isomorfismo por algún motivo "profundo", es que no puede existir porque por definición son estructuras distintas.

No tiene nada que ver con que puedas dotar al conjunto de los puntos \[ (x,y,1) \] de una estructura de espacio afín. También puedes dotar a \[ \Bbb R^2 \] de una estructura de espacio afín. Y obviamente, no tiene sentido hablar de isomorfismos entre \[ \Bbb R^2 \] como espacio vectorial y \[ \Bbb R^2 \] como espacio afín, a pesar de ser el mismo conjunto.

[athairdos]

Gracias! Para dotar al espacio \( R^{2} \) (ú otro), de una estructura de espacio afín lo que se requiere es definir una acción de grupo de \( G \) sobre sí mismo, ej.: \( G \times G \rightarrow {G} \)? Saludos

[geómetracat]

Sí, pero además la acción debe ser libre y transitiva. En el caso de \[ \Bbb R^2 \], la acción viene dada por \[ (v,p) \mapsto p+v \].

De todas formas ten en cuenta que cuando escribes la acción \[ \Bbb R^2 \times \Bbb R^2 \to \Bbb R^2 \], el primer factor de la izquierda lo estás pensando como grupo (aditivo), mientras que el otro factor y el de llegada los piensas como conjuntos de puntos.

[athairdos]

Gracias! Aprovecho la ocasión para preguntar sobre algo un tanto distinto.

Un conjunto como \( \left\lbrace\alpha, \beta, \gamma\right\rbrace \) con \( \alpha=(\alpha_{0}, \alpha_{1}, 1) \),   \( \beta=(\beta_{0}, \beta_{1}, 1) \) y  \( \gamma=(\gamma_{0}, \gamma_{1}, 1) \), es una base en el plano afín \( A_{2}: z=1 \) asumiendo que los vectores diferencia resultantes sean linealmente independientes?

Saludos

[geómetracat]

Sí, si los vectorea diferencia respecto a uno de los tres puntos, por ejemplo \[ \beta-\alpha \] y \[ \gamma -\alpha \] son linealmente independientes, entonces \[ \alpha, \beta, \gamma \] forman una referencia afín para ese plano.
Pero no se llama base (bases hacen referencia a espacios vectoriales), se llama referencia afín.

[athairdos]

Gracias! Entonces, seria correcto decir que para una referencia afin de \( A^{2} \) se requieren (no menos) de 3 puntos proyectivos de \( P^{n} \)? o, tal vez, 3 puntos proyectivos junto con (o ademas de) una referencia proyectiva (de \( n+2 \) puntos)?

No me queda claro.si la accion de grupo que establece el subespacio afín en un espacio proyectivo (suponiendo que esto fuera correcto) requiere de la definición (previa, o.simultánea, al.menos) de una referencia proyectiva (?).

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias! Entonces, seria correcto decir que para una referencia afin de \( A^{2} \) se requieren (no menos) de 3 puntos proyectivos de \( P^{n} \)? o, tal vez, 3 puntos proyectivos junto con (o ademas de) una referencia proyectiva (de \( n+2 \) puntos)?

Vaya por delante, y es algo que ya te he comentado alguna vez, que me resulta algo caótico como presentas las preguntas sobre geometría afín y proyectiva. No me queda claro desde que punto de vista estás estudiando cada una de las dos geometrías.

Para estudiar geometría afín no hace falta hablar nada de geometría proyectiva; por otra parte es cierto que uno puede estudiar geometría proyectiva, y relacionarla con la geometría afín.

Entonces para definir una referencia afín de  \( \Bbb A^2 \) se requieren exactamente tres puntos, ni más, ni menos. Uno de ellos ha de ser marcado como el origen; y los otros dos por orden, unidos a ese origen, darán lugar a la base de vectores en la cuál se trabajará.

No me queda claro.si la accion de grupo que establece el subespacio afín en un espacio proyectivo (suponiendo que esto fuera correcto) requiere de la definición (previa, o.simultánea, al.menos) de una referencia proyectiva (?).

Aquí de nuevo me parece que mezclas puntos de vista.

Si estás trabajando en un espacio proyectivo, para definir un espacio afín dentro de él, lo único que necesitas es fijar un hiperplano (que se llamará del infinito). El espacio proyectivo menos ese hiperplano es el espacio afín.

Por otra parte se puede definir espacio afín, como la acción libre y transitiva de un espacio vectorial sobre un conjunto (de puntos).

Desde luego en ningún caso juegan papel alguno en todo esto el concepto de referencia proyectiva.

Saludos.