Hola
En \( \mathbb{P}_\mathbb{C}^3 \), sea \( Q \) la cuadrica con ecuacion \( Q: y^2+z^2-u^2-2xz+2yz=0. \) Sean \( \pi \) el plano proyectivo en \( \mathbb{P}_\mathbb{C}^3 \) dado por \( u=0 \) y \( C:=Q\cap \pi \subset \pi = \mathbb{P}_\mathbb{C}^2. \) Encontrar una homografia \( \omega: \mathbb{P}_\mathbb{C}^2\to \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \) que reduce \( C \) a su forma canonica.
Dada la ecuación de una cuádrica:
\( \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}=0 \)
y una homografía de expresión matricial:
\( \begin{pmatrix}x'&y'&z'\end{pmatrix}=w\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}=M\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} \)
la ecuación de la transformada de la cuádrica es:
\( \begin{pmatrix}x'&y'&z'\end{pmatrix}A'\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\\\end{pmatrix}=0 \)
con \( A=M^tA'M \)o equivalentemente \( A'=(M^{-1})^tAM^{-1} \).
Entonces la matriz \( M \) es la inversa de la matriz de paso por columnas que permite llevar por congruencia la matriz \( A \) a su forma diagonal canónica.
El proceso para calcular directamente \( M \) es el siguiente:
- Diagonaliza por congruencia (mismas operaciones fila que columna) la matriz asociada a la cónica hasta llevarla hasta su forma canónica. En su día te enlacé un vídeo con ejemplos sobre como se hace.
- Para obtener \( M \) haz sobre la identidad las operaciones columna que has hecho en el proceso anterior,
pero invertidas y en orden opuesto al realizado.
En tu caso la intersección del plano \( u=0 \) con la cuádrica dada es:
\( y^2+z^2-2xz+2yz=0 \)
y por tanto la matriz sobre la cuál trabajarás:
\( A=\begin{pmatrix}\hfill 0 &0 &-1\\\hfill 0&1&\hfill 1\\-1&1&\hfill 1\\\end{pmatrix} \)
Saludos.
