Hola, RM
No sabía muy bien dónde ubicar este hilo; si me he equivocado, ¿podríais cambiarlo al subforo correspondiente?
La pregunta principal voy a realizarla antes de citar el texto: ¿por qué el Axioma del Supremo implica la completitud de los números reales?. Además tengo alguna duda que intercalaré en cursiva al tiempo que escribo el texto. Ahí va:
Axioma del Supremo
Acotamiento de conjuntosCota superior e inferior
Antes de presentarles el axioma del supremo, axioma de los números reales, debemos estudiar una serie de definiciones que sirven para acotar conjuntos: cotas superiores e inferiores, máximos y mínimos, supremos e ínfimos.
Acotado SuperiormenteUn conjunto \( A \) es acotado superiormente si existe un real \( M \) que es mayor que todos los elementos del conjunto \( A \), es decir
\( (\exists{M\in{\mathbb{R}}})(\forall{x\in{A}})\:\mbox{tal que:}\;x\leq{M} \)
A este número \( M \) se le llamará cota superior de \( A \)
ObservaciónCualquier otro real mayor que \( M \), también será una cota superior de \( A \).
Acotado InferiormenteUn conjunto \( A \) es acotado inferiormente si existe un real \( m \) que es menor que todos los elementos del conjunto \( A \), es decir
\( (\exists{M\in{\mathbb{R}}})(\forall{x\in{A}})\:\mbox{tal que:}\;m\leq{x} \)
A este número \( m \) se le llamará cota inferior de \( A \)
ObservaciónCualquier otro real menor que \( m \), también será una cota inferior de \( A \)
ObservaciónUn conjunto acotado superior e inferiormente, se dice
acotadoAcotamiento de conjuntosCota Superior e Inferior
Ejemplos1- \( A=(-\infty,5) \). Este intervalo es acotado superiormente, una cota superior es 5, y el conjunto de las cotas superiores es \( [5,\infty) \).
No hay cotas superiores \( m<5 \), ya que siempre existe \( \epsilon>0 \) tal que \( m+\epsilon\in{A} \) y \( m<m+\epsilon \)
1ª pregunta: ¿esta frase anterior quiere decir que, elijamos el \( \epsilon>0 \) que elijamos, siempre que \( m+\epsilon\in{A} \), \( m+\epsilon \) también será una cota inferior de \( A \), es decir, \( m<m+\epsilon \)?.
El intervalo no es acotado inferiormente pues dado un real \( m<5 \), una cota inferior para \( m \) sería \( m-1 \), pero \( m-1\in{A} \).
2ª pregunta: ¿no sería mejor enunciarlo de esta manera:\( \forall{\epsilon>0} \), \( \forall{m<5} \), una cota inferior para \( m \) sería \( m-\epsilon \); pero \( m-\epsilon\in{A} \), y por lo tanto, como \( m-\epsilon<m \), \( m \) es cota superior de \( A \)?.
2- \( A=[-1,3] \). Este intervalo es acotado superior e inferiormente. El conjunto de las cotas superiores es el intervalo \( [3,\infty) \). Y el de las cotas inferiores es el intervalo \( (-\infty,-1] \)
ObservaciónUna forma de demostrar que un real \( c \) es una cota superior para un conjunto \( A \), es probar que ningún real \( x>c \) pertenece a \( A \).
Ejemplo\( A=\{x\in{\mathbb{R}}:\;x^2\leq{2}\} \)
Veamos si \( c=\dfrac{3}{2} \) es cota superior de \( A \). Si \( x>\dfrac{3}{2} \), entonces \( x^2>\left ({\dfrac{3}{2}}\right )^2=\dfrac{9}{4}>2 \). Por lo tanto \( x\not\in{A} \). Esto quiere decir que ningún real mayor que \( \dfrac{3}{2} \) puede estar en \( A \).
Acotamiento de conjuntosMáximo y mínimo
MáximoDiremos que un conjunto \( A \) posee máximo, si posee una cota superior que pertenece al conjunto.
MínimoDiremos que un conjunto \( A \) posee mínimo, si posee una cota inferior que pertenece al conjunto.
Observación-Estas dos definiciones nos dicen que el máximo de un conjunto es el mayor elemento del conjunto y que el mínimo es el menor elemento del conjunto.
- Si el máximo existe, este es único. Lo mismo ocurre con el mínimo.
Ejemplo1- \( A=(-\infty,5) \). No posee máximo, ya que el conjunto de todas las cotas superiores es \( [5,\infty) \) y \( (-\infty,5]\cap{[5,\infty)}=\emptyset \).
3ª pregunta: ¿no hay una errata y debería ser \( (-\infty,5)\cap{[5,\infty)}=\emptyset \)?2- \( A=[-1,3] \). Posee como mínimo a -1 y como máximo a 3.
Acotamiento de conjuntosSupremo e Ínfimo
SupremoDiremos que un conjunto \( A \) posee supremo, si existe un real \( s \) que satisface las dos siguientes condiciones:
1-\( s \) es una cota superior de \( A \).
2-Cualquier otra cota superior de \( A \) es mayor que \( s \).
NotaciónEl supremo de \( A \), se denota por \( \mbox{sup}A \).
ÍnfimoDiremos que un conjunto \( A \) posee ínfimo, si existe un real
u que satisface las dos siguientes condiciones:
1-\( u \) es una cota inferior de \( A \).
2-Cualquier otra cota inferior de \( A \) es menor que \( u \).
NotaciónEl ínfimo de \( A \), se denota por \( \mbox{inf}A \).
Ejemplo1-\( A=(-\infty,5) \). Tiene como supremo el valor 5, ya que 5 es cota superior del conjunto y cualquier otra cota superior de \( A \) será mayor que 5. No tiene ínfimo pues no está acotado inferiormente
2-\( [-1,3] \). Está acotado superior e inferiormente y tiene a -1 como infimo y 3 como supremo (-1 es mímimo y 3 es máximo).
Acotamiento de conjuntosSupremo e Ínfimo
SupremoDiremos que un conjunto \( A \) posee supremo, si existe un real \( s \) que satisface las dos siguientes condiciones:
1-\( s \) es una cota inferior de \( A \).
2-Cualquier otra cota superior de \( A \) es mayor que \( s \).
NotaciónEl supremo de \( A \) se denota por \( \mbox{sup}A \)
ÍnfimoDiremos que un conjunto \( A \) posee ínfimo, si existe un real \( u \) que satisface las dos siguientes condiciones:
1-\( u \) es una cota inferior de \( A \).
2-Cualquier otra cota inferior de \( A \) es menor que \( u \).
NotaciónEl ínfimo de \( A \) se denota por \( \mbox{inf}A \).
Ejemplo1-\( A=(-\infty,5) \). Tiene como supremo el valor 5, ya que 5 es cota superior del conjunto y cualquier otra cota superior de \( A \) será mayor que 5. No tiene ínfimo pues no está acotado inferiormente.
2-\( A=[-1,3] \). Está acotado superior e inferiormente y tiene a -1 como ínfimo y a 3 como supremo (-1 es mínimo y 3 es máximo).
Acotamiento de conjuntosPropiedades del supremo
ObservaciónSiempre se tendrá que si el mínimo \( m \) de un conjunto \( A \) existe entonces el ínfimo \( u \) también existe y son iguales. Lo mismo se tendrá para máximo y supremo.
(La demostración la entiendo, así que no la escribo)PropiedadesSean \( A \) y \( B \) dos conjuntos, definimos \( A+B=\{x+y\;:\;x\in{A},\;y\in{B}\} \) y \( A\cdot{B}=\{x\cdot{y}\;:\;x\in{A},\;y\in{B}\} \), entonces
-\( \mbox{sup}(A\;+\;B)=\mbox{sup}(A)\;+\;\mbox{sup}(B) \).
-\( \mbox{sup}(A\cdot{B})=\mbox{sup}(A)\cdot{\mbox{sup}(B)} \). Para \( A,\;B\subseteq{[0,\;\infty)} \).
Sólo demuestra la primera propiedad, dejando la segunda como ejercicio. La demostración de la primera propiedad la entiendo. La segunda no sé si es necesario demostrar.
Acotamiento de conjuntosAxioma del Supremo
En la parte anterior vimos que hay conjuntos acotados superiormente que no poseen máximo. En estos casos como en el ejemplo del intervalo \( (-\infty,5) \), el candidato a ser máximo era 5, pero este no pertenecía al conjunto.
Sin embargo nuestra intuición nos dice que todo conjunto acotado superiormente posee supremo. De hecho, la única forma que un conjunto no posea supremo parece ser, que no sea acotado.
Sin embargo esta intuición no se puede deducir de las propiedades de los reales, por lo tanto lo tenemos que agregar como axioma.
Axioma del Supremo
Todo conjunto no vacío y acotado superiormente posee un supremo
Acabo de terminar de escribir la cita, y parece ser que el Axioma del Supremo no se puede deducir de las propiedades de los reales. La pregunta ahora es: ¿cómo se deduce la completitud de los números reales?. Si introduzco el término de búsqueda "Completitud de los números reales", la segunda entrada que aparece es un artículo de Wikipedia titulado "Axioma del Supremo".Bueno, para hablar solo soy un genio
. ¿Qué opináis?.
¡Un saludo!
