[pablo.chanduj]

                  Buenas noches estimados: Tengo los siguientes ejercicios: Muestre que existe un natural n con la propiedad indicada:
a. \( (r-\displaystyle\frac{1}{n})^2 \)>3 donde \( r \) es un racional positivo tal que \( r^2 > \)3.
b. \( (r+\displaystyle\frac{1}{n})^2<7 \) donde \( r \) es un racional positivo tal que \( r^2<7 \).

                    Soluciones planteadas:
a. Luego de aplicar pasos algebraicos llego a la siguiente inecuación \( \displaystyle\frac{2r-1}{r^2 -3} \)<n. hasta aca concluyo que  existe n natural ya que no esta acotado superiormente, es correcto?

b. Luego de aplicar pasos algebraicos se obtiene la siguiente inecuación \( n>\displaystyle\frac{2}{7-r^2} \). ¿Cómo justifico la existencia de n? solamente con decir que no es acotado superiormente?

                    Espero respuestas! saludos cordiales!

[manooooh]

Hola

Voy a tratar de ayudar con el primer apartado.

a. Luego de aplicar pasos algebraicos llego a la siguiente inecuación \( \displaystyle\frac{2r-1}{r^2-3} \)<n. hasta aca concluyo que  existe n natural ya que no esta acotado superiormente, es correcto?

Me parece que no te dieron una relación de orden, así que no tiene sentido hablar de cotas.

Creo que leído literalmente si no me equivoco (que alguien más revise por favor):

                  Muestre que existe un natural n con la propiedad indicada:
a. \( (r-\displaystyle\frac{1}{n})^2 \)>3 donde r es un racional positivo tal que \( r^2>3 \).

significa que existe un \( n\in\Bbb{N} \) tal que para todo \( r\in\Bbb{Q}^+ \) se tiene \( p(n,r) \), donde \( p(n,r)= \) \( r^2>3 \) y \( (r-1/n)^2>3 \) y no que para todo \( r\in\Bbb{Q}^+ \) existe \( n\in\Bbb{N} \) tal que \( p(n,r) \).

Esa propiedad es falsa, y para justificarlo voy a demostrar que su negación es verdadera, es decir:

Para todo \( n\in\Bbb{N} \) existe \( r\in\Bbb{Q}^+ \) tal que \( r^2\leq3 \) o \( (r-1/n)^2\leq3 \). Es inmediato porque, dado \( n\in\Bbb{N} \), tomando \( r=1 \) se cumple que \( r^2\leq3 \), por tanto \( r^2\leq3\lor(r-1/n)^2\leq3 \) es verdadera.

¿Qué opina el resto?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

                  Buenas noches estimados: Tengo los siguientes ejercicios: Muestre que existe un natural n con la propiedad indicada:
a. \( (r-\displaystyle\frac{1}{n})^2 \)>3 donde \( r \) es un racional positivo tal que \( r^2 > \)3.
b. \( (r+\displaystyle\frac{1}{n})^2<7 \) donde \( r \) es un racional positivo tal que \( r^2<7 \).

                    Soluciones planteadas:
a. Luego de aplicar pasos algebraicos llego a la siguiente inecuación \( \displaystyle\frac{2r-1}{r^2 -3} \)<n. hasta aca concluyo que  existe n natural ya que no esta acotado superiormente, es correcto?

No estoy seguro de como has llegado a esa inecuación. Si realmente has sido capaz de probar que:

\( \displaystyle\frac{2r-1}{r^2 -3}<n\quad \Rightarrow{}\quad (r-\displaystyle\frac{1}{n})^2>3  \) (*)

Pues se concluye diciendo que los naturales no están acotados superiormente y por tanto dado \( \displaystyle\frac{2r-1}{r^2 -3} \) existe \( n \) mayor que él.

Lo que no puedes decir es simplemente "ya que no está acotado superiormente" sin indicar de que conjunto estás hablando.

Recuerda que tienes que aclarar además si realmente pruebas esto (*).

b. Luego de aplicar pasos algebraicos se obtiene la siguiente inecuación \( n>\displaystyle\frac{2}{7-r^2} \). ¿Cómo justifico la existencia de n? solamente con decir que no es acotado superiormente?

La misma idea de antes.

Me parece que no te dieron una relación de orden, así que no tiene sentido hablar de cotas.

¡Si qué hay una relación de orden: la usual en los números reales!. Es curioso que digas que no dan relación de orden, pero luego si seas capaz de interpretar el símbolo "<". 

                  Muestre que existe un natural n con la propiedad indicada:
a. \( (r-\displaystyle\frac{1}{n})^2 \)>3 donde r es un racional positivo tal que \( r^2>3 \).

significa que existe un \( n\in\Bbb{N} \) tal que para todo \( r\in\Bbb{Q}^+ \) se tiene \( p(n,r) \), donde \( p(n,r)= \) \( r^2>3 \) y \( (r-1/n)^2>3 \) y no que para todo \( r\in\Bbb{Q}^+ \) existe \( n\in\Bbb{N} \) tal que \( p(n,r) \).

Esa propiedad es falsa, y para justificarlo voy a demostrar que su negación es verdadera, es decir:

Es que del enunciado se sobrentiende que el \( r \) es fijo. Es decir lo que pide probar es que dado un racional positivo tal que \( r^2>3 \) existe un \( n \) natural verificando\(  (r-\displaystyle\frac{1}{n})^2>3 \).

Saludos.
pablo.chanduj: Sobre el uso del foro:

1) No titules todos los hilos "Conjuntos acotados". Los hemos ido corrigiendo, cambiando esa frase. En otro caso tendríamos muchos mensajes con el mismo título, lo cuáles confuso. Adapta el título del mensaje al contenido particular de cada hilo.

2) Usa LaTeX para toda la expresión matemática. En particular no pongas el exponente 2 como un carácter especial, sino usando LaTeX: [tex]r^2[/tex].

3) No dejes trocitos de las fórmulas fuera de los delimitadores [tex]...[/tex], es decir, escribe por ejemplo:

[tex](r-\displaystyle\frac{1}{n})^2>3[/tex]

en lugar de:

[tex](r-\displaystyle\frac{1}{n})^2[/tex]>3