Hola
Buenas. Me gustaría saber si se puede afirmar esto:
Sea \( f(n) = (an - 1)(an + 1) \) con \( a \in{\mathbb{N}} \) entonces \( \forall{a} > 2 \) la serie:
\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \displaystyle\frac{1}{f(n)} \)
converge a un número irracional.
Hay una igualdad conocida:
\( \pi cot(\pi z)=\dfrac{1}{z}+2z\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\dfrac{1}{z^2-n^2} \)
de donde:
\( z\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\dfrac{1}{z^2-n^2}=\dfrac{1}{2}\left(\pi cot(\pi z)-\dfrac{1}{z}\right)
\)
Aplicada a tu caso para \( z=1/a \):
\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \displaystyle\frac{1}{f(n)}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{a^2n^2-1}=-z^2\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{z^2-n^2}=\dfrac{z}{2}\left(\dfrac{1}{z}-\pi cot(\pi z)-\right)=\dfrac{a-\pi cot(\pi/a)}{2a}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\pi cot(\pi/a)}{2a} \)
Si \( a \) es natural mayor que dos hay que probar entonces que \( \pi cot(\pi/a) \) NO es racional.
Pero \( cot(\pi/a) \) es un número algebraico no nulo (para \( a>2 \)) por tanto si \( \pi cot(\pi/a) \) fuese racional, entonces \pi sería algebraico, lo cuál no es cierto. Con esto concluimos.
Saludos.
P.D. algebraico=raíz de un polinomio con coeficientes enteros.
