[pablo.chanduj]

              Buenas noches: Tengo dudas sobre el siguiente ejercicio:

Sean \( x, y\in{R} \) tales que \( x+y\geq{0} \). Suponga que para todo natural n>1 se cumple que \( x\leq{\displaystyle\frac{1}{n}-y} \).

              Mi solución planteada es la siguiente:

1. \( x+y\geq{0}\Leftrightarrow{x\geq{-y}} \)
2. \( x\leq{\displaystyle\frac{1}{n}-y}\Leftrightarrow{x<y<\displaystyle\frac{1}{n}}\Leftrightarrow{-x<x<y<\displaystyle\frac{1}{n}}\Leftrightarrow{-x<y} \)
3. Se concluye por 1 y 2 que x=-y.

             Esta bien esta solución? espero respuestas! saludos cordiales!

[Masacroso]

              Buenas noches: Tengo dudas sobre el siguiente ejercicio:

Sean \( x, y\in{R} \) tales que \( x+y\geq{0} \). Suponga que para todo natural n>1 se cumple que \( x\leq{\displaystyle\frac{1}{n}-y} \).

              Mi solución planteada es la siguiente:

1. \( x+y\geq{0}\Leftrightarrow{x\geq{-y}} \)
2. \( x\leq{\displaystyle\frac{1}{n}-y}\Leftrightarrow{x<y<\displaystyle\frac{1}{n}}\Leftrightarrow{-x<x<y<\displaystyle\frac{1}{n}}\Leftrightarrow{-x<y} \)
3. Se concluye por 1 y 2 que x=-y.

             Esta bien esta solución? espero respuestas! saludos cordiales!

¿Solución a qué? ¿Qué tienes que demostrar? Sea como sea el segundo paso no está bien, en todo caso tienes que \( x\leqslant \frac1{n}-y \Leftrightarrow x+y\leqslant \frac1{n} \), ahora tomando límites a ambos lados de la última desigualdad tienes que \( x+y=\lim_{n\to\infty}(x+y)\leqslant \lim_{n\to\infty}\frac1{n}=0 \), es decir, que \( x+y\leqslant 0 \), que junto con la otra desigualdad sólo te deja la opción de que \( x+y=0 \). ¿Es eso lo que te pedían demostrar?

[feriva]

              Buenas noches: Tengo dudas sobre el siguiente ejercicio:

Sean \( x, y\in{R} \) tales que \( x+y\geq{0} \). Suponga que para todo natural n>1 se cumple que \( x\leq{\displaystyle\frac{1}{n}-y} \).

              Mi solución planteada es la siguiente:

1. \( x+y\geq{0}\Leftrightarrow{x\geq{-y}} \)
2. \( x\leq{\displaystyle\frac{1}{n}-y}\Leftrightarrow{x<y<\displaystyle\frac{1}{n}}\Leftrightarrow{-x<x<y<\displaystyle\frac{1}{n}}\Leftrightarrow{-x<y} \)
3. Se concluye por 1 y 2 que x=-y.

             Esta bien esta solución? espero respuestas! saludos cordiales!

¿Solución a qué? ¿Qué tienes que demostrar? Sea como sea el segundo paso no está bien, en todo caso tienes que \( x\leqslant \frac1{n}-y \Leftrightarrow x+y\leqslant \frac1{n} \), ahora tomando límites a ambos lados de la última desigualdad tienes que \( x+y=\lim_{n\to\infty}(x+y)\leqslant \lim_{n\to\infty}\frac1{n}=0 \), es decir, que \( x+y\leqslant 0 \), que junto con la otra desigualdad sólo te deja la opción de que \( x+y=0 \). ¿Es eso lo que te pedían demostrar?

Sí, es eso, es que lo ha dicho en el título pero no en el texto.

Feliz año, ya que andamos por aquí.

[Juan Pablo Sancho]

Otra demostración es que si \( x+y > 0 \) tendríamos :
\( 0 \leq n < \dfrac{1}{x+y}  \) para todo natural \( n \) entonces los naturales están acotados superiormente ,absurdo.
Como \( x+y \geq 0  \) tenemos que \( x+y=0 \).