Buenas noches estimados: Tengo el siguiente ejercicio:
Sean \( x, y, z \in{R} \) tales que x<y<z. Muestre que existe un natural tal que \( \displaystyle\frac{1}{n}<\displaystyle\frac{y-x}{z-x} \).
La solución que yo planteo es la siguiente:
1. Un número natural tiene la siguiente forma 1<n.
2. Dado el enunciado \( x<y<z\Leftrightarrow{x-x<y-x<z-x}\Leftrightarrow{0<y-x<z-x}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{y-x}{z-x}<1} \)
3. \( \displaystyle\frac{y-x}{z-x}<1<n \)
4. \( \displaystyle\frac{y-x}{z-x}<n \). Queda demostrado que existe un natural n.
Está bien mi planteo? espero respuestas! saludos cordiales!
Lo que has hecho es demostrar que \( \frac{y-x}{z-x}<1 \), pero te piden demostrar otra cosa. Del enunciado intuyo que te piden demostrar que, dados unos valores \( x,y,z\in \mathbb{R} \) determinados que cumplen que \( x<y<z \), entonces demostrar que existe tal \( n\in \mathbb N\setminus\{0\} \).
Observa que tanto \( y-x \) como \( z-x \) son positivos, y \( y-x<z-x \), por tanto \( \frac{y-x}{z-x}\in(0,1) \). Ahora: la sucesión \( \{1/n\}_{n\in \mathbb N} \) converge a cero, por tanto para cualquier \( \epsilon >0 \) existe un \( N\in \mathbb N \) tal que \( 1/n<\epsilon \) para todo \( n\geqslant N \). Tomando \( \epsilon =\frac{y-x}{z-x} \) ya demuestras que tal \( n \) existe.
