Buenos días, ancape. Me alegra verte (y veros) por aquí debatiendo cordialmente entre colegas matemáticos
Sospecho que lo que no te gusta de, por ejemplo, escribir la indeterminación del tipo \( \dfrac{0}{0}
\) de esta manera, es el hecho de que ese símbolo “0” no es en general el cero patatero; perdonadme, pero es que no sé decirlo de otra manera, porque si dijera que es un cero no entero, tal que \( 0\notin\mathbb{Z}
\), no sería cierto (al menos en cuanto a lo que interesa considerar en el cálculo estándar, pues un infinitesimal sí es el cero de los reales en cuanto a su “valor” o más bien falta de valor). Ese cero de las indeterminaciones se suele referir a infinitesimales que pueden ser distintos y, por tanto, arrojar un cociente diferente de 1 (lo que sí que no es fácilmente “entendible” es un cociente con un cero en el denominador si consideramos que es “cero patatero”; vuelvo a pedir disculpas por lo difuso de mi definición).
Cierto es que se podría poner algún subíndice o algo a dicho “0” para distinguir una cosa u otra; pero si el objetivo de lo que propones es no tener que dar explicaciones de lo que queremos decir... pienso que, al final, va a dar igual, pues por el motivo que sea siempre hay que dar alguna explicación con palabras (si no respecto de esto, respecto de otras cuestiones). Supongo que es inevitable que los convenios no sean del gusto de todos (entre los matemáticos, cada uno tenéis vuestras manías o preferencias) pero es tan inevitable como imprescindible es el hecho de que existan los convenios.
En cuanto al límite que has puesto por ahí pues, en mi inexperta opinión, pasa algo parecido, todo es según del color del cristal con que se mire.
Si yo veo esto (yo o cualquier no matemático, cualquier persona no tan habituada al cálculo) \( {\displaystyle \lim_{x\to0}{\displaystyle \frac{(x^{2}-1)-(x+1)(x-1)}{x^{2}}}}
\), el hecho de que aparezca \( {\displaystyle \lim_{x\to0}}
\) me está sugiriendo que me hallo en un cierto mundo (en el que estuve muy poco tiempo y recuerdo vagamente) un lugar un poco diferente al país del álgebra básica; donde existen algunos recursos distintos para operar.
En cambio, si yo veo esto \( {\displaystyle {\displaystyle \frac{(x^{2}-1)-(x+1)(x-1)}{x^{2}}}}
\) sí que lo enfoco (en mi caso particular) como un problema de álgebra básica: \( {\displaystyle {\displaystyle \frac{(x^{2}-1)-(x+1)(x-1)}{x^{2}}=\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}}-\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}}=cosa-cosa=0}}
\).
Visto así, qué más da a lo que tienda “x” y qué más da si la expresión da un número real o una cebolla, la cuestión es que es lo mismo a cada lado de la igualdad. Pero si quisiéramos hacer ver esto último, para qué sugerir, a quien vaya a resolverlo, que está en un mundo en el que no pretendemos que esté. Ya sé que no es exactamente lo que dices, sino que seguramente te refieres a operar el límite dividiendo numerador y denominador por \( x^{2}
\), que es más sencillo que usar l'Hôpital. Para evitar eso, siempre que les pongas a tus alumnos el límite de un cociente, pues diles directamente lo que se dice tan a menudo, que “no se puede usar l'Hôpital” (en caso de que no quieras que lo hagan), Así, la persona que va a resolverlo ve que se le cierra un camino y busca otro; y normalmente lo va a encontrar si el problema es simple.
Saludos.
