[pablo.chanduj]

Buenas noches estimados: Tengo la siguiente consulta. Tengo que determinar las cotas, sup, e inf de los siguientes conjuntos \(\Bbb Q\) y \(\Bbb Z\). Mi planteo es el siguiente, quiero saber si está bien:

Analizo primero \(\Bbb Z\):
1. \( \Bbb Z=(-\infty, +\infty)=\Bbb Z^-+\Bbb Z^+=(-\infty,0)+(0,+\infty) \)
2. \( \Bbb Z^-=\left\{{\forall{n}\in{N}:x<n}\right\} \) y \( \Bbb Z^+=\left\{{\forall{n}\in{N}:x>n}\right\} \)
3. Y finalmente demostrar las cotas de cada subconjunto por separado.
¿Esta bien este planteo?

Analizo en segundo lugar \( \Bbb Q \): ¿Cómo hago para estudiar las cotas de \( \Bbb Q \)?

Espero respuestas! saludos cordiales!

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas noches estimados: Tengo la siguiente consulta. Tengo que determinar las cotas, sup, e inf de los siguientes conjuntos \(\Bbb Q\) y \(\Bbb Z\). Mi planteo es el siguiente, quiero saber si está bien:

Analizo primero \(\Bbb Z\):
1. \( \Bbb Z=(-\infty, +\infty)=\Bbb Z^-+\Bbb Z^+=(-\infty,0)+(0,+\infty) \)
2. \( \Bbb Z^-=\left\{{\forall{n}\in{N}:x<n}\right\} \) y \( \Bbb Z^+=\left\{{\forall{n}\in{N}:x>n}\right\} \)
3. Y finalmente demostrar las cotas de cada subconjunto por separado.
¿Está bien este planteo?

No tiene demasiado sentido. ¿Para qué lo divides en dos trozos?. Ademas la notación \( \Bbb Z=(-\infty, +\infty) \) no está bien porque eso sería todos los números reales.

¿Pero entiendes informalmente que son cotas?. Una cota superior es cualquier número igual o más grande que cualquiera del conjunto; una cota inferior es cualquier número igual o más pequeño que cualquiera del conjunto.

Cotas superiores de \( \Bbb Z \): ¿Hay algún número mayor o igual que cualquier entero?.
Cotas inferiores de \( \Bbb Z \): ¿Hay algún número menor igual que cualquier entero?.

Saludos.

[pablo.chanduj]

                    Buenas noches estimado: Antes que nada gracias por la respuesta. Voy a plantear una nueva solución y quiero saber si esta bien:

1. Reducción al absurdo: \( \Bbb Z \) es acotado superiormente por \( c \).
2. \( c-1<c \)
3. \( \exists{n_0}\in{Z^+}/c-1<n_0 \Leftrightarrow{c<n_0+1} \)
4. Por lo tanto el punto 3. contradice lo planteado en el punto 1.
5. Por lo tanto \( \Bbb Z \) no esta acotado superiormente.

                  Por otro lado:

1. Reducción al absurdo: \( \Bbb Z \) es acotado inferiormente por \( d \).
2. \( d<d+1 \)
3. \( \exists{n_0}\in{Z^-}/d+1>n_0 \Leftrightarrow{d>n_0-1} \)
4. Por lo tanto el punto 3. contradice lo planteado en el punto 1.
5. Por lo tanto \( \Bbb Z \) no esta acotado inferiormente.

Quiero saber si estos planteos son correctos!

Por otro lado necesito saber lo siguiente: Para demostrar que \( \Bbb Q \) no es acotado, ¿se puede aplicar el mismo razonamiento?

Espero respuestas gracias!

[Luis Fuentes]

Hola

                    Buenas noches estimado: Antes que nada gracias por la respuesta. Voy a plantear una nueva solución y quiero saber si esta bien:

1. Reducción al absurdo: \( \Bbb Z \) es acotado superiormente por \( c \).

Yo pondría: supongamos que  \( \Bbb Z \) es acotado...

2. \( c-1<c \)
3. \( \exists{n_0}\in{Z^+}/c-1<n_0 \Leftrightarrow{c<n_0+1} \)

No entiendo que quieres decir con ese \( n_0 \) y porque pones que pertenece a los enteros positivos. Más claro: tomando \( n_0=c-1\in \Bbb{Z} \) se tiene \( n_0=c-1<c \) y luego sigues...

4. Por lo tanto el punto 3. contradice lo planteado en el punto 1.
5. Por lo tanto \( \Bbb Z \) no esta acotado superiormente.

Bien.

                  Por otro lado:

1. Reducción al absurdo: \( \Bbb Z \) es acotado inferiormente por \( d \).
2. \( d<d+1 \)
3. \( \exists{n_0}\in{Z^-}/d+1>n_0 \Leftrightarrow{d>n_0-1} \)
4. Por lo tanto el punto 3. contradice lo planteado en el punto 1.
5. Por lo tanto \( \Bbb Z \) no esta acotado inferiormente.

Comentarios análogos a la demostración anterior.

Por otro lado necesito saber lo siguiente: Para demostrar que \( \Bbb Q \) no es acotado, ¿se puede aplicar el mismo razonamiento?

Si.

Saludos.