[mg]

Hola,

El reciproco es cierto. Pero me preguntaba si esa proposición se da. La intuición me dice que debe darse.

Un saludo

[Juan Pablo Sancho]

Si es contractiva es de Cauchy, si es de Cauchy puede ser no contractiva.

[mg]

Si es contractiva es de Cauchy

Cierto jeje, acabo de probarlo. Entonces quería ponerlo al revés en el título.

Podrías darme un contraejemplo de una sucesión de Cauchy no contractiva?

Un saludo y gracias.

[Juan Pablo Sancho]

Si no me equivoco \( a_n = \dfrac{1}{n}  \)

[mg]

Diría que no, a ver que te parece.

\( 0<\displaystyle\frac{\left |{a_{n+1}-a_n}\right |}{\left |{a_n-a_{n-1}}\right |}=\left |{\displaystyle\frac{n^2-n}{n^2+n}}\right |=\underbrace{\displaystyle\frac{n^2}{n^2+n}-\displaystyle\frac{n}{n^2+n}}_{n^2>n}<1 \).

Por lo tanto existiría un \( k\in{}(0,1) \) tq \( \left |{a_{n+1}-a_n}\right |<k\left |{a_n-a_{n-1}}\right | \), para cada n.

[geómetracat]

Para ser contractiva tiene que existir un \( k \) con \( 0<k<1 \) de forma que
\[ |a_{n+1}-a_n|\leq k |a_n-a_{n-1}| \] para todo \( n \). Lo importante aquí es notar que el \[ k \] no depende de \[ n \], debe ser el mismo para todo \[ n \].

Pero en la sucesión \( 1/n \) no puede existir tal \( k \) (independiente de \( n \)) porque
\[ 0<\displaystyle\frac{\left |{a_{n+1}-a_n}\right |}{\left |{a_n-a_{n-1}}\right |}=\left |{\displaystyle\frac{n^2-n}{n^2+n}}\right | \longrightarrow 1 \] cuando \( n \to \infty \).

Si existiera un tal \( k<1 \) independiente de \( n \), el límite sería menor o igual que \( k<1 \).

[mg]

Ah vale, bien. Muchas gracias a ambos.

[Defasada]

Como demuestro que si es contractiva es de Cauhy?

[Luis Fuentes]

Hola

Como demuestro que si es contractiva es de Cauhy?

Si es contractiva existe \( 0<\color{red}c\color{black}<1 \) tal que:

\( |x_{n+1}-x_n|\leq c|x_n-x_{n-1}| \)

De ahí:

\( |x_{n+1}-x_n|\leq c^{n-1}|x_2-x_{1}| \)

Entones:

\( |x_{n+k}-x_n|\leq |x_{n+k}-x_{n+k-1}|+|x_{n+k-2}-x_{n+k-3}|+\ldots+|x_{n+1}-x_n|\leq \\
\leq (c^{n+k-1}+c^{n+k-2}+\ldots+c^{n+1})|x_2-x_1|\leq \dfrac{c^{n+1}-c^{n+k}}{1-c}|a_2-a_1|\leq \dfrac{c^{n+1}}{1-c}|x_2-x_1| \)

Finalmente ten en cuenta que: \( \dfrac{c^{n+1}}{1-c}|x_2-x_1|\to 0 \).

Saludos.

CORREGIDO