Hola,
a) Escalonar la matriz nos da que: la matriz es inversible $$\Longleftrightarrow ~rg(A)=4\Longleftrightarrow~ k\in \mathbb{R}\setminus \{-2,0,2\}$$
Si $$|k+6|\le 3$$, entonces $$k\in [-9,-3]\subset \mathbb{R}\setminus \{-2,0,2\}$$. Entonces $$A$$ es inversible. a) es verdadera.
b) $$A$$ no tiene inversa para $$k=-2\lor k=0\lor k=2$$. Entonces no es inversible para todo $$k\in \mathbb{R}$$. b) es falsa.
c) $$C=\{k\in\mathbb{R}: \text{Sistema compatible determinado}\}\subset\{k\in \mathbb{R}: \text{Sistema compatible}\}=\{k\in\mathbb{R}: \text{Sistema incompatible}\}^c=B^c$$. c) es verdadera.
d) Sustituyendo $$k=1$$ en la matriz escalonada del paso a), obtenemos $$x_4=-4$$. Sabemos que para $$k=1$$ el sistema es compatible determinado. Entonces la solución entra en contradicción con $$x_4=-2$$. d) es falsa.
e) Efectivamente, dicho $$k$$ existe y es igual a $$-2$$. e) es verdadera.
f) El sistema es compatible determinado si y sólo si $$\mathbb{R}\setminus \{-2,0,2\}$$. Un contraejemplo de la afirmación de f): $$k=-2$$. Entonces el sistema es compatible indeterminado. f) es falsa.
Conclusión:
a) verdadera
b) falsa
c) verdadera
d) falsa
e) verdadera
f) falsa
Hola Eugenia, he cambiado c) porque no sabía que $$B'$$ quería denotar complementario.
