Hola,
a) Sustituye $$a=x^2+3$$ en $$c(x)=\dfrac{\sqrt[4]{-1}}{\log(x+3)}$$.
$$c(x)$$ no puede ser real para ningún $$x$$. a) es falsa.
b) El conjunto $$A$$ es el conjunto unitario $$\{11\}$$
$$c(x)=\dfrac{\sqrt[4]{x^2-9}}{\log(x+3)}$$ es real si y sólo si la raíz no se anula y el logaritmo existe y el logaritmo es distinto de cero.
Es la intersección de: $$x^2-9\ge 0$$ y $$x\neq 2$$ y $$x>-3$$. Entonces $$x\in [3,+\infty)$$. b) es verdadera.
c) $$a<2\Longleftrightarrow -a+2>0$$. $$x^2-a+2>0$$ para todo $$x$$. Nos preocupamos sólo del conjunto de $$x$$ donde el logaritmo existe y es distinto de cero. Que es precisamente $$(-3,-2)\cup(-2,+\infty)$$. c) es verdadera.
d) Si $$a>2$$, y $$c(x)\in\mathbb{R}$$, entonces $$x^2>a-2>0$$. Con ayuda de un dibujo, este último conjunto es $$\{x<-\sqrt{a-2}\}\cup\{x>\sqrt{a-2}\}$$
¿Qué conjunto es $$|x|>\sqrt{a-2}$$? Precisamente ese. Esto es porque es la unión de, si $$x>0$$, $$x>\sqrt{a-2}$$, unión con, si $$x<0$$, $$-x>\sqrt{a-2}$$. d) es verdadera.
e) $$a=2$$ entonces $$c(x)=\dfrac{\sqrt[4]{x^2}}{\log(x+3)}$$. Nos preocupamos sólo del conjunto de $$x$$ tales que el logaritmo existe y es distinto de cero. Ya hemos visto que es $$(-3,-2)\cup(-2,+\infty)$$. e) es verdadera.
f) Si $$a<-9$$, $$-a+2>11$$, por lo que $$x^2-a+2$$ es siempre mayor que cero. Sin embargo, si $$c(x)$$ es real, entonces el logaritmo existe y es distinto de cero. Entonces $$x\in(-3,-2)\cup(-2,+\infty)$$. Podemos encontrar un contraejemplo de la afirmación que da f) tomando, por ejemplo $$x=-2$$. Para este valor de $$x$$, $$c(x)$$ no existe. f) es falsa.
Conclusión: marcar todas como verdaderas excepto la a) y la f), que son falsas.
