Hola
Buenas noches estimados: Necesito ayuda para resolver el siguiente ejercicio:
Sea r un real positivo. Considere los siguiente conjuntos:
\( E=\left\{{x\in{R}: x=(1+a)*r}\right\} \) con a>0
\( F=\left\{{x\in{R}: x=\displaystyle\frac{r}{1-b}}\right\} \) con 0<b<1
Determinar si \( E\subset{F} \)
Espero respuestas! saludos cordiales!
¿Estás seguro de que has escrito bien los conjuntos? Tal como está escrito se supone que \( r \) y también \( a \) y \( b \) son números FIJOS.
Entonces en ese caso ambos conjuntos están formados por un ÚNICO elemento:
\( E=\{(1+a)r\} \)
\( F=\{r/(1+b)\} \)
y \( E\subset F \) (de hecho son iguales) si esos elementos son iguales, es decir, si \( 1+a=\dfrac{1}{1-b} \).
Pero sospecho que en realidad los conjuntos que querias poner son:
\( E=\left\{{x\in{R}: x=(1+a)*r},\quad a>0\right\} \)
\( F=\left\{{x\in{R}: x=\displaystyle\frac{r}{1-b},\quad 0<b<1}\right\} \)
La diferencia es que ahora \( E \) son todos los números de la forma \( (1+a)r \) con algún \( a>0 \) (no con un \( a \) fijo). Lo análogo para \( F \).
Para ver si \( E\subset F \) tienes que analizar si todo elemento de la forma \( (1+a)r \) con \( a>1 \) puede escribirse de la forma \( \dfrac{r}{1-b} \) para algún \( b \) con \( 0<b<1 \).
Pero igualando tendrías:
\( \dfrac{1}{1-b}=1+a\quad \Leftrightarrow{}\quad b=1-\dfrac{1}{1+a} \)
Pero si \( a>0 \) entonces \( 1+a>1 \) y \( 0<\dfrac{1}{1+a}<1 \) y por tanto \( 0<1-\dfrac{1}{1+a}<1 \).
Saludos.
