Hola a todos, estoy intentando demostrar el siguiente resultado:
Sea \( K \subset \mathbb{R}^n \) un cuerpo convexo centralmente simétrico (compacto, convexo y tal que \( K=-K \)) y \( H_c=\{x \in \mathbb{R}^n: \langle x, u \rangle =c\} \) con \( u \in \mathbb{R}^n \), entonces \( \operatorname{vol}_{n-1}(K \cap H_c) \) es máximo cuando \( c=0 \).
Para intentar demostrarlo he definido \( h(c)=\operatorname{vol}_{n-1}(K \cap H_c) \) y si fuera
\( h(c_1 + c_2)=\operatorname{vol}_{n-1}((K \cap H_{c_1}) + (K \cap H_{c_2})) \hspace{3mm} (1) \)
entonces por la desigualdad de Brunn-Minkowski
\( h(c_1 + c_2)^\frac{1}{n-1} \geq \operatorname{vol}_{n-1}(K \cap H_{c_1})^\frac{1}{n-1} + \operatorname{vol}_{n-1}(K \cap H_{c_2})^\frac{1}{n-1}=h(c_1)^\frac{1}{n-1} + h(c_2)^\frac{1}{n-1} \)
Ahora, observemos que
\( x \in K \cap H_{-c} \Leftrightarrow{} x \in K \wedge \langle x, u \rangle = -c \Leftrightarrow{} -x \in K \wedge \langle -x, u \rangle = c \Leftrightarrow{} -x \in K \cap H_c \Leftrightarrow{} x \in -(K \cap H_c) \)
luego \( K \cap H_{-c}=-(K \cap H_c) \) y con ello,
\( h(-c)=\operatorname{vol}_{n-1}(K \cap H_{-c})=\operatorname{vol}_{n-1}(-(K \cap H_c))=\operatorname{vol}_{n-1}(K \cap H_c)=h(c) \)
Finalmente, tenemos pues que dado \( c \in \mathbb{R} \) se tiene que
\( h(0)^\frac{1}{n-1}=h(c+(-c))^\frac{1}{n-1} \geq h(c)^\frac{1}{n-1} + h(-c)^\frac{1}{n-1}=2h(c)^\frac{1}{n-1} \geq h(c)^\frac{1}{n-1} \)
luego \( h(0) \geq h(c) \) y esto prueba la proposición.
El problema es que creo que no consigo demostrar (1) y de hecho creo que es falso, pero la idea de la demostración que he tenido creo que si puede ir por buen camino, ¿alguna idea de como completarla? Y, si no creen que vaya por buen camino, ¿alguna idea de como demostrar la proposición en si?
Un saludo y muchas gracias.
