[valeperez]

Existen funciones:
Funciones \( f \) y \( g \) no integrables tales que \( fg \) es integrable.
Función \( f \) no integrable tal que \( |f| \) si es integrable.

[Juan Pablo Sancho]

Para el primero toma :
\( f(x) = 1  \) si \( x \in [0,1]\setminus \mathbb{Q}  \)
\( f(x) = -1  \) si \( x \in [0,1] \cap \mathbb{Q}  \)
Pon \( g = f \)
Para el segundo \( f \) como en el primer apartado.
Recuerda poner lo que intentas de ahora en adelante.

[delmar]

Hola

Es conveniente mostrar que has hecho por resolver el problema. Suponiendo una función continua No idénticamente nula en [a,b]:

\( f:[a,b]\longrightarrow{R} \)

   \( x\rightarrow{f(x)} \)

A partir de esa función se construye otra función :

\( g:[a,b]\rightarrow{R} \)

\( x\rightarrow{g(x)=\begin{cases}{f(x)}&\text{si}& x\in{Q}\\-f(x) & \text{si}& x\not\in Q\end{cases}} \)

g no es integrable; pero \( h=g^2 \) al definirse de esta manera :

\( h:[a,b]\rightarrow{R} \)

\( x\rightarrow{h(x)=g^2(x)=f^2(x) \ \forall{x}\in{[a,b]}} \)

Por ser f continua \( h=f^2 \) también lo es y el integral existe. h es el producto de dos funciones no integrables en este caso iguales; pero también existe el caso en que no son iguales, intenta encontrar. Esta muestra también sirve para el segundo apartado.

Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Una cosita 

Spoiler

Hola

Es conveniente mostrar que has hecho por resolver el problema. Suponiendo una función continua no identicamente nula en [a,b]   :

\( f:[a,b]\longrightarrow{R} \)

   \( x\rightarrow{f(x)} \)

A partir de esa función se construye otra función :

\( g:[a,b]\rightarrow{R} \)

\( x\rightarrow{g(x)=\begin{cases}{f(x)}&\text{si}& x\in{Q}\\-f(x) & \text{si}& x\not\in Q\end{cases}} \)

g no es integrable; pero \( h=g^2 \) al definirse de esta manera :

\( h:[a,b]\rightarrow{R} \)

\( x\rightarrow{h(x)=g^2(x)=f^2(x) \ \forall{x}\in{[a,b]}} \)

Por ser f continua \( h=f^2 \) también lo es y el integral existe. h es el producto de dos funciones no integrables en este caso iguales; pero también existe el caso en que no son iguales, intenta encontrar. Esta muestra también sirve para el segundo apartado.

Saludos

[cerrar]

[delmar]

Una cosita 

Spoiler

Hola

Es conveniente mostrar que has hecho por resolver el problema. Suponiendo una función continua no identicamente nula en [a,b]   :

\( f:[a,b]\longrightarrow{R} \)

   \( x\rightarrow{f(x)} \)

A partir de esa función se construye otra función :

\( g:[a,b]\rightarrow{R} \)

\( x\rightarrow{g(x)=\begin{cases}{f(x)}&\text{si}& x\in{Q}\\-f(x) & \text{si}& x\not\in Q\end{cases}} \)

g no es integrable; pero \( h=g^2 \) al definirse de esta manera :

\( h:[a,b]\rightarrow{R} \)

\( x\rightarrow{h(x)=g^2(x)=f^2(x) \ \forall{x}\in{[a,b]}} \)

Por ser f continua \( h=f^2 \) también lo es y el integral existe. h es el producto de dos funciones no integrables en este caso iguales; pero también existe el caso en que no son iguales, intenta encontrar. Esta muestra también sirve para el segundo apartado.

Saludos

[cerrar]

Las matemáticas son rigurosas, oportuna la acotación Juan Pablo Sancho, gracias, ya agregué la acotación.

Un saludo