[mg]

Hola,

En este apartado del temario que estoy dando, me ponen lo siguiente:

En el espacio proyectivo complejo \( \mathbb{P}^2(\mathbb{C}) \), la clase de equivalencia de las cónicas con rango 2, se tiene que una ecuación reducida de la cónica lugar es \( x_0^2+x_1^2=0 \), por tanto la cónica lugar consiste en dos rectas complejas distintas que se cortan en el único punto singular de la cónica.

Mi pregunta es, ¿cómo deduce que \( x_0^2+x_1^2=0 \) son dos rectas complejas distintas?

Un saludo

[Luis Fuentes]

Hola

En este apartado del temario que estoy dando, me ponen lo siguiente:

En el espacio proyectivo complejo \( \mathbb{P}^2(\mathbb{C}) \), la clase de equivalencia de las cónicas con rango 2, se tiene que una ecuación reducida de la cónica lugar es \( x_0^2+x_1^2=0 \), por tanto la cónica lugar consiste en dos rectas complejas distintas que se cortan en el único punto singular de la cónica.

Mi pregunta es, ¿cómo deduce que \( x_0^2+x_1^2=0 \) son dos rectas complejas distintas?

\( x_0^2+x_1^2=(x_0+i x_1)(x_0-i x_1) \)

Por tanto:

\( x_0^2+x_1^2=0 \)

equivale a.

\( (x_0+i x_1)(x_0-i x_1)=0 \)

es decir a:

\( x_0+i x_1=0 \) ó \( x_0-i x_1=0 \)

Saludos.

[mg]

¡No lo había visto!

 muchas gracias Luis.

[Julio_fmat]

De hecho, \( Q \) es reducible en \( \mathbb{C} \).

Saludos.

[Julio_fmat]

Hola, estaba pensando en tu ejercicio y me surgio una duda... Si \( \mathbb{P}_\mathbb{R}^2 \), entonces si la ecuacion canonica de la conica es \( x_0^2+x_1^2=0 \), entonces \( Q \) es reducible y por lo tanto, \( Q \) es singular, aun cuando \( \text{det } A\ne 0 \). Porque si \( \text{det } A \ne 0 \), entonces \( Q \) es no singular por colorario.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, estaba pensando en tu ejercicio y me surgio una duda... Si \( \mathbb{P}_\mathbb{R}^2 \), entonces si la ecuacion canonica de la conica es \( x_0^2+x_1^2=0 \), entonces \( Q \) es reducible y por lo tanto, \( Q \) es singular, aun cuando \( \text{det } A\ne 0 \). Porque si \( \text{det } A \ne 0 \), entonces \( Q \) es no singular por colorario.

La matriz asociada a la cónica es:

\( \begin{pmatrix}1&0&0\cr 0&1&0\cr 0&0&0\end{pmatrix} \)

su determinante es cero.

Saludos.