a) Sean \( V \) un espacio vectorial y \( <,> \) un producto interno, entonces \( \forall{u,v}\in{V} \) \( \left\|{u+v}\right\|^2+\left\|{u-v}\right\|^2=2(\left\|{u}\right\|^2+\left\|{v}\right\|^2) \). Donde \( \left\|{w}\right\|=\sqrt[ ]{<w,w>} \) \( \forall{w}\in{V} \)
b) Sea \( V=C_\mathbb{R}([0,1]) \).
Demuestre que \( \not\exists {<,>}:V\times{V}\longrightarrow{\mathbb{R}} \) producto interno tal que \( \left\|{f}\right\|_\infty=\sqrt[ ]{<f,f>} \) \( \forall{f\in{V}} \)
Hola Dany. Este foro es (no en todo pero sí en mucho) para resolver dudas concretas que surjan cuando estás resolviendo ejercicios, no para resolverte los ejercicios. Tienes que mostrar lo que has intentado para resolver el ejercicio y en dónde te has atascado para que podamos ayudarte.
La primera igualdad es fácil de demostrar, simplemente aplica al lado derecho e izquierdo la definición de la norma en términos del producto interior, es decir que \( \|x\|^2=\langle x,x \rangle \), y ahora utilizando las propiedades del producto interior desarrollas, es decir, el producto interior en sesquilineal, que significa que cumple estas propiedades en un espacio vectorial \( V \) sobre un cuerpo de escalares \( \mathbb{K} \) (donde \( \mathbb{K} \) es \( \mathbb{R} \) ó \( \mathbb{C} \)):
\( \displaystyle{
\text{ Positividad: }\langle x,x \rangle\geqslant 0\text{ para todo }x\in V\text{ , y } \langle x,x \rangle=0\iff x=0\\
\text{ Linealidad en el primer argumento: }\langle \lambda x,y \rangle=\lambda \langle x,y \rangle\text{ para cualquier escalar } \lambda \in \mathbb{K}\\
\text{ Linealidad en el primer argumento: }\langle x+y,z \rangle=\langle x,y \rangle+\langle y,z \rangle\text{ para todo }x,y,z\in V\\
\text{ Conjugación: }\langle x,y \rangle=\overline{\langle y,x \rangle}, \text{ donde la barra significa que se toma el conjugado complejo }
} \)
Si \( \mathbb{K}=\mathbb{R} \) entonces la última propiedad es equivalente a \( \langle x,y \rangle=\langle y,x \rangle \), es decir, que en el caso de que \( \mathbb{K}=\mathbb{R} \) el producto interior es bilineal, es decir, es lineal en cada uno de sus dos argumentos.
Para la segunda parte tienes que demostrar que si \( \langle f,f \rangle=\|f\|^2_\infty \) para todo \( f\in C_{\mathbb{R}}([0,1]) \) entonces la operación \( \langle \cdot ,\cdot \rangle \) incumple alguna de las propiedades mencionadas arriba. Inténtalo y nos dices cómo te ha ido o en dónde no has conseguido progresar.
