[DanyM]

Sea \(  (X, d)  \) un espacio métrico y \(  x_0\in{X}  \) fijo.
Definimos \( \phi:X\longrightarrow{\mathbb{R}}  \) como \(  \phi(y)=d(x_0,y)  \forall{y\in{X }} \)
Demuestre que \(  \phi  \) es continua en \(  X  \)

[geómetracat]

Usa que de la desigualdad triangular se deduce que \[ |d(x_0,y)-d(x_0,z)| \leq d(y,z) \] para todo \[ y,z \in X \].

[DanyM]

Ok, entonces para estructurar la demostración pongo:

Dem.
Sea \(  x_0 \in{X} \) cualquiera.
Por demostrar: \( \phi(y) \) es continua en X.
Por demostrar: \(  \forall{\epsilon}>0  \), \(  \exists{\delta} >0 \) tal que \( \forall{x}\in{X} \)
Si \( d(x_0,y)<\delta  \) entonces \( \left |{\phi}(x_0)-\phi(y)\right | <\epsilon \)

¿Así?

[DanyM]

Ya pude resolver mi tarea, efectivamente suponiendo esa desigualdad del triángulo sale perfectamente.

¡Muchas gracias!