Buen día, tengo el siguiente ejercicio.
\( Sea\, F\, una\, \sigma-algebra \,de\, \Omega.\\
Demuestre \,que \, F^c:=\{A^c:A\in{F}\}\, es\, una\, \sigma-algebra\, de\,\Omega\, y \,que\,F^c=F. \)
Tomando en cuenta que para ser \( \sigma-algebra \) debe cumplir tres propiedades, he desarrollado lo siguiente, ¿Me podrían orientar con lo que hé hecho? o darme tips para corregir lo que este mal. Por favor.
\( 1.\, \emptyset\in{F}\\
Como\,F\,es\,\sigma-algebra\\
\emptyset\in{F}\Rightarrow{\emptyset\in{F^c}}\\
2. \,Si\, A\in{F}\Rightarrow{A^C\in{F}}\\
A\in{F}, \forall{n\in{N}}\\
\Longrightarrow{A^c\in{F}}\\
\Longrightarrow{A^C\in{F^c}}\\
3. \,Sean\,A_1,A_2,A_3\, tales\,que\,A_1,A_2,A_3\in{F^c}\\
\Rightarrow{A_1,A_2,A_3\in{F}}\\
como\,F\,es\,\sigma-algebra\,\Rightarrow{\cup^\infty_{n=1}A_n\in{F}}\in{\cup^\infty_{n=1}A_n\in{F^c}}
\)
Gracias, de antemano.
