[maraa]

Buenas noches, espero que me puedan ayudar con la siguiente demostración.
\(  Sea\, F\, una\, \sigma -algebra\, de\, \Omega. Demuestre\, que \, F^c :=\{A^c: A\in{F}\} \,es \,una\, \sigma-algebra \,de\, \Omega \,y \,que\, F^c=F
 \)
De antemano, gracias.

[Masacroso]

Buenas noches, espero que me puedan ayudar con la siguiente demostración.
\(  Sea\, F\, una\, \sigma -algebra\, de\, \Omega. Demuestre\, que \, F^c :=\{A^c: A\in{F}\} \,es \,una\, \sigma-algebra \,de\, \Omega \,y \,que\, F^c=F
 \)
De antemano, gracias.

Es un ejercicio trivial, solamente tienes que verificar, utilizando la definición de \( \sigma  \)-álgebra, lo que te piden. Dime lo que has intentado o en que parte te has atascado.

[mg]

Hola,
Ten en cuenta que si \( F \) es una \( \sigma -algebra \) entonces se verifica:
1)\( \emptyset\in{}F \)
2)Si \( E\in{}F \) entonces \( E^c\in{F} \)
3)Sean \( E_1,E_2,...,E_n\in{F} \) \( (n\in{}\mathbb{N}) \) entonces su unión numerable también está en \( F \)

[maraa]

Buenas noches, espero que me puedan ayudar con la siguiente demostración.
\(  Sea\, F\, una\, \sigma -algebra\, de\, \Omega. Demuestre\, que \, F^c :=\{A^c: A\in{F}\} \,es \,una\, \sigma-algebra \,de\, \Omega \,y \,que\, F^c=F
 \)
De antemano, gracias.

Es un ejercicio trivial, solamente tienes que verificar, utilizando la definición de \( \sigma  \)-álgebra, lo que te piden. Dime lo que has intentado o en que parte te has atascado.

Buen día, he hecho lo siguiente, espero pueda orientarme.
Utlizando la definición probé las propiedades para que  \( F^c\,sea\,\sigma \)-álgebra.

\( 1.\emptyset \in{F}
\Rightarrow{\emptyset\in{F^c}}\\
2. Si\, A\in{F}\Rightarrow{A^C\in{F}}\\
Sea\, A\,un\, elemento\, de\,F^c\\
\Rightarrow{A\in{F_i}}\forall{n\in{N}}\\
\Rightarrow{A^c\in{F_i}}\\
\Rightarrow{A^c\in{F^c}}\\

3.Sean\, A_1,A_2,A_3, \, tal \,que\, A_1,A_2,A_3\in{F^c}\\
\Rightarrow{A_1,A_2,A_3\in{F_i}}\\
como\, F_i\, es\,\sigma-álgebra\\
\Rightarrow{\cup^\infty_{n=1}A_n\in{Fi}}\,\forall{n\in{N}}\Rightarrow{\cup^\infty_{n=1}A_n\in{F^c}}



 \)

Tengo problema para visualizar porque \( F^c=F \)

[Masacroso]

Buen día, he hecho lo siguiente, espero pueda orientarme.
Utlizando la definición probé las propiedades para que  \( F^c\,sea\,\sigma \)-álgebra.

\( 1.\emptyset \in{F}
\Rightarrow{\emptyset\in{F^c}}\\
2. Si\, A\in{F}\Rightarrow{A^C\in{F}}\\
Sea\, A\,un\, elemento\, de\,F^c\\
\Rightarrow{A\in{F_i}}\forall{n\in{N}}\\
\Rightarrow{A^c\in{F_i}}\\
\Rightarrow{A^c\in{F^c}}\\

3.Sean\, A_1,A_2,A_3, \, tal \,que\, A_1,A_2,A_3\in{F^c}\\
\Rightarrow{A_1,A_2,A_3\in{F_i}}\\
como\, F_i\, es\,\sigma-álgebra\\
\Rightarrow{\cup^\infty_{n=1}A_n\in{Fi}}\,\forall{n\in{N}}\Rightarrow{\cup^\infty_{n=1}A_n\in{F^c}}



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Tengo problema para visualizar porque \( F^c=F \)

El paso marcado con 1. no lo justificas, ¿por qué si \( \emptyset \in F \) entonces \( \emptyset \in F^c \)? Lo demás no entiendo bien lo que haces porque no sé qué es \( F_i \). Mira, la cosa es muy sencilla: si \( F \) es una \( \sigma  \)-álgebra entonces para todo \( A\in F \) entonces, de la definición de \( \sigma  \)-álgebra, tenemos que \( A^c \in F \), por tanto \( F=F^c  \), ya que ambos conjuntos tienen exactamente los mismos elementos, es decir que \( A\in F \iff  A^c \in  F\iff A\in F^c  \).