[Julio_fmat]

Sea \( Q\subset \mathbb{P}_\mathbb{K}^3 \) la cuadrica con ecuación \( Q: x_1^2-x_2^2-2x_3^2-x_4^2-4x_2x_3=0 \). Sea \( \mathbb{K}=\mathbb{R} \). Hallar las ecuaciones cartesianas y parametricas de \( T_p Q \cap U \), donde \( T_p Q \) es el plano tangente a \( Q \) en el punto \( (1:0:0:1) \) y \( U \) tiene ecuación \( x_1+x_2-x_4=0. \)

Hola, ¿cual es la idea de este ejercicio?

[Luis Fuentes]

Hola

Sea \( Q\subset \mathbb{P}_\mathbb{K}^3 \) la cuadrica con ecuación \( Q: x_1^2-x_2^2-2x_3^2-x_4^2-4x_2x_3=0 \). Sea \( \mathbb{K}=\mathbb{R} \). Hallar las ecuaciones cartesianas y parametricas de \( T_p Q \cap U \), donde \( T_p Q \) es el plano tangente a \( Q \) en el punto \( (1:0:0:1) \) y \( U \) tiene ecuación \( x_1+x_2-x_4=0. \)

Hola, ¿cual es la idea de este ejercicio?

Me pides por mensaje privado que te ayude en este ejercicio. Lo haré encantado si primero me contestas algo al respecto de esto:

Julio_fmat: Preguntas por un ejercicio, te respondemos y en unos días preguntas por otro donde se usan exactamente las mismas técnicas y no es que no te salga, es que dices que no sabes ni por donde empezar.

¿Qué opinas sobre eso? ¿Crees que te están sirviendo de algo todas tus preguntas? ¿Estás aprendiendo algo?¿El qué?.

Saludos.

[Julio_fmat]

Gracias el_manco, pero no necesariamente son los mismos problemas, son similares, parecidos. Claro que me sirven mis preguntas, por algo es que las posteo, y si no he dado las gracias algunas veces es por falta de tiempo nada mas.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias el_manco, pero no necesariamente son los mismos problemas, son similares, parecidos.

De hecho has llegado a preguntar TRES veces por EXACTAMENTE el mismo problema en distintos hilos.

Has llegado a plantear 10 problemas en un mismo día, sin llegar a leer las respuestas a los que habías planteado antes. Y digo que no lees las respuestas, entre otras cosas, porque en esos 10 problemas repetiste uno planteado anteriormente por ti mismo.

Y otro son parecidos, pero con partes IDÉNTICAS. Por ejemplo aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=115103.0

Tienes que calcular una intersección, y ya has planteado problemas donde tienes que calcular intersecciones. Podrías decir: "veréis he calculado la intersección y me da esto, como sigo con esto otro". Pero no: dices que no tienes ni idea. No sabes ni hacer la parte que SI es IDÉNTICA a otro problema.

Claro que me sirven mis preguntas, por algo es que las posteo, y si no he dado las gracias algunas veces es por falta de tiempo nada mas.

 Por mi parte me da igual que des las gracias. No es eso. Se trata simplemente de que muestres tus avances o tus ERRORES; no te limites a decir robóticamente: "no se hacerlo", "podías ser más específico", ...

 Bien es cierto que si es por tiempo, te lleva más tiempo enviar mensajes privados pidiendo ayuda, o postear 10 problemas nuevos, que escribir un simple gracias.
 
 En fin, sospecho que es predicar en el desierto.

 Por si a alguien le aprovecha:

Sea \( Q\subset \mathbb{P}_\mathbb{K}^3 \) la cuadrica con ecuación \( Q: x_1^2-x_2^2-2x_3^2-x_4^2-4x_2x_3=0 \). Sea \( \mathbb{K}=\mathbb{R} \). Hallar las ecuaciones cartesianas y parametricas de \( T_p Q \cap U \), donde \( T_p Q \) es el plano tangente a \( Q \) en el punto \( (1:0:0:1) \) y \( U \) tiene ecuación \( x_1+x_2-x_4=0. \)

Hola, ¿cual es la idea de este ejercicio?

 Si escribes la cuádrica en forma matricial:

\( \begin{pmatrix}x_1&x_2&x_3&x_4\end{pmatrix}\underbrace{\begin{pmatrix}1 & \phantom{-}0 &\phantom{-}0 &\phantom{-}0\\ 0&-1&-2&\phantom{-}0\\0 &-2&-2&\phantom{-}0\\0&\phantom{-}0&\phantom{-}0&-1\\\end{pmatrix}}_A
\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\\end{pmatrix}=0 \)

 El plano tangente en un punto \( P=(a_1,a_2,a_3,a_4) \) de la misma tiene por ecuación implícita:

\( \begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3&a_4\end{pmatrix}\underbrace{\begin{pmatrix}1 & \phantom{-}0 &\phantom{-}0 &\phantom{-}0\\ 0&-1&-2&\phantom{-}0\\0 &-2&-2&\phantom{-}0\\0&\phantom{-}0&\phantom{-}0&-1\\\end{pmatrix}}_A
\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\\end{pmatrix}=0 \)

 Con eso puedes hallar \( T_PQ \) y después la intersección es un problema IDÉNTICO a otros que ya has planteado.

Saludos.

[Julio_fmat]

Gracias por la ayuda, me queda que \( T_p Q: x_1=0, -x_4=0 \). Por lo tanto, \( T_p Q\cap Q: 2x_1+x_2-2x_4=0. \) Para hacer las ecuaciones parametricas he pensado en hacer \( x_1=\lambda_1, x_2=\lambda_2 \), pero \( x_3 \)?? Y las cartesianas como quedan?

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias por la ayuda, me queda que \( T_p Q: x_1=0, -x_4=0 \).

No. No te pueden quedar dos ecuaciones. Intenta entender lo que haces. Estás hallando un PLANO. Un plano en el espacio proyectivo está definido por una única ecuación implícita.

No tiene sentido que hagas cuentas a ciegas, sin entender la geometría de lo que haces.

Por lo tanto, \( T_p Q\cap Q: 2x_1+x_2-2x_4=0. \) Para hacer las ecuaciones parametricas he pensado en hacer \( x_1=\lambda_1, x_2=\lambda_2 \), pero \( x_3 \)?? Y las cartesianas como quedan?

Si realmente te quedase \( T_p Q\cap Q: 2x_1+x_2-2x_4=0 \) eso YA es una ecuación cartesiana. ¿Cómo es posible qué preguntes cómo queda?.

Ahora bien; está mal, claro. Una intersección de dos planos distintos debe de ser una recta, que está definida por DOS ecuaciones cartesianas.

En fin, comienza revisando y reflexionando sobre lo primero que te he dicho.

Saludos.

[Julio_fmat]

Hola

Gracias por la ayuda, me queda que \( T_p Q: x_1=0, -x_4=0 \).

No. No te pueden quedar dos ecuaciones. Intenta entender lo que haces. Estás hallando un PLANO. Un plano en el espacio proyectivo está definido por una única ecuación implícita.

No tiene sentido que hagas cuentas a ciegas, sin entender la geometría de lo que haces.

Por lo tanto, \( T_p Q\cap Q: 2x_1+x_2-2x_4=0. \) Para hacer las ecuaciones parametricas he pensado en hacer \( x_1=\lambda_1, x_2=\lambda_2 \), pero \( x_3 \)?? Y las cartesianas como quedan?

Si realmente te quedase \( T_p Q\cap Q: 2x_1+x_2-2x_4=0 \) eso YA es una ecuación cartesiana. ¿Cómo es posible qué preguntes cómo queda?.

Ahora bien; está mal, claro. Una intersección de dos planos distintos debe de ser una recta, que está definida por DOS ecuaciones cartesianas.

En fin, comienza revisando y reflexionando sobre lo primero que te he dicho.

Saludos.

Gracias el_manco, multiplique mal las matrices. Ahora, \( T_p Q: x_1-x_4=0. \) Luego, \( T_p Q\cap Q: x_2=0. \)

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias el_manco, multiplique mal las matrices. Ahora, \( T_p Q: x_1-x_4=0. \) Luego, \( T_p Q\cap Q: x_2=0. \)

Ahora está bien. Pero insisto en mi reflexión anterior: cualquiera puede tener un error en las cuentas. Pero si uno entiende lo que está haciendo más allá de puros cálculos, muchos de esos errores son fácilmente detectables por uno mismo.

Saludos.

[Julio_fmat]

Gracias el_manco, pero tengo la siguiente duda. Se define la recta tangente como sigue:

Definición: La recta tangente \( T_p C \) a \( C:=V(P)\subset \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \) en un punto suave \( p:=(a:b:c)\in C \) es:

\( T_p C: \, x\dfrac{\partial P}{\partial x}(a,b,c)+y\dfrac{\partial P}{\partial y}(a,b,c)+z\dfrac{\partial P}{\partial z}(a,b,c)=0. \)

Entonces, ¿cuál seria la diferencia de escribir la ecuación como matriz con los datos de la cuadrica? No me queda claro. 

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias el_manco, pero tengo la siguiente duda. Se define la recta tangente como sigue:

Definición: La recta tangente \( T_p C \) a \( C:=V(P)\subset \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \) en un punto suave \( p:=(a:b:c)\in C \) es:

\( T_p C: \, x\dfrac{\partial P}{\partial x}(a,b,c)+y\dfrac{\partial P}{\partial y}(a,b,c)+z\dfrac{\partial P}{\partial z}(a,b,c)=0. \)

Entonces, ¿cuál seria la diferencia de escribir la ecuación como matriz con los datos de la cuadrica? No me queda claro. 

Es lo mismo. Es decir si \( A \) es la matriz de la cónica tienes que su ecuación es:

\( P(x,y,z)=0\qquad \textsf{ con }\qquad P(x,y,z)=\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix} \)

Entonces para hallar el plano tangente en un punto \( (a,b,c) \) da lo mismo hacer:

\( T_p C: \, x\dfrac{\partial P}{\partial x}(a,b,c)+y\dfrac{\partial P}{\partial y}(a,b,c)+z\dfrac{\partial P}{\partial z}(a,b,c)=0. \) (*)

que:

\( T_p C: \,\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}=0 \)

De hecho la ecuación (*) matricialmente puede escribirse como:

\( gradiente(P)(a,b,c)\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}=0 \)

y el gradiente de:

\( P(x,y,z)=\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix} \)

es:

\( gradiente(P)(x,y,z)=2\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}A \)

Saludos.