[mgranadosgg]

Hola y gracias de antemano.

Quisiera pedir ayuda con el ejercicio siguiente.

Nota: no puedo usar L`Hôpital.

ENUNCIADO
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\( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{\displaystyle\frac{x^2.sen(\displaystyle\frac{PI}{x})}{\sqrt[ ]{x^2+1}}} \)

Llego a una indeterminación 0/0:

\( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{sen\displaystyle\frac{PI}{x}}}{\displaystyle\frac{1}{x}}} \)

O llego a una indeterminación tipo \( \displaystyle\frac{\infty}{\infty} \)

[delmar]

Hola

Pero \( sen (\displaystyle\frac{\pi}{2})=1\Rightarrow{\displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{\displaystyle\frac{x^2 sen(\displaystyle\frac{Pi}{2})}{\sqrt[ ]{x^2+1}}}=\displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{\displaystyle\frac{x^2}{\sqrt[ ]{x^2+1}}}=\displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{\displaystyle\frac{x}{\sqrt[ ]{1+\displaystyle\frac{1}{x^2}}}}=....} \)

Ese límite se puede determinar.


Saludos

[mgranadosgg]

Mil disculpas.

Es PI/x. Ya lo modifiqué.

Gracias.

[Juan Pablo Sancho]

Para escribir \( \pi \) tienes que hacer [tex]\pi[/tex]

Tienes que :
\( \displaystyle \dfrac{x^2 \cdot \sen(\dfrac{\pi}{x})}{\sqrt{1+x^2}} = \dfrac{x \cdot x \cdot \sen(\dfrac{\pi}{x}}{x \cdot \sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}} = \dfrac{x \cdot \sen(\dfrac{\pi}{x})}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}} = \dfrac{\pi}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}} \cdot \dfrac{\sen(\dfrac{\pi}{x})}{\dfrac{\pi}{x}}  \) haz ahora \( u = \dfrac{\pi}{x} \)

[mgranadosgg]

Hola y gracias de antemano.

Disculpa. No entiendo bien los pasos que has hecho. ¿Los podrías aclarar un poco?

No entiendo cómo sacas una x en el denominador.

Después, no entiendo qué haces con \( PI \)

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

\( \displaystyle x^2 \cdot \sen(\dfrac{\pi}{x}) = x \cdot x \cdot \sen(\dfrac{\pi}{x})  \)
\( \sqrt{1+x^2} = \sqrt{x^2 \cdot (1+\dfrac{1}{x^2})} = x \cdot \sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}  \)
Entonces:
\( \dfrac{x \cdot x \cdot \sen(\dfrac{\pi}{x})}{x \cdot \sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}} = \dfrac{x \cdot \sen(\dfrac{\pi}{x})}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}} \cdot x \cdot \sen(\dfrac{\pi}{x}) =  \dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}} \cdot  \dfrac{\sen(\dfrac{\pi}{x})}{\dfrac{1}{x}}    =   \dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}} \cdot \dfrac{\pi}{\pi} \cdot  \dfrac{\sen(\dfrac{\pi}{x})}{\dfrac{1}{x}} = \dfrac{\pi}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}  \cdot  \dfrac{\sen(\dfrac{\pi}{x})}{\dfrac{\pi}{x}}  \)

[mgranadosgg]

\( \displaystyle\frac{π}{\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1}{x^2}+1}}·\displaystyle\frac{sen(u)}{u} \)

\( \displaystyle\frac{π·x}{\sqrt[ ]{x^2+1}}·\displaystyle\frac{sen(u)}{u} \)

\( \displaystyle\frac{π·x·sen(u)}{(\sqrt[ ]{x^2+1})·u} \)

\( \displaystyle\frac{π·x·sen(u)·\sqrt[ ]{x^2+1}}{(x^2+1)·u} \)

\( \displaystyle\frac{π·x·sen(u)·\sqrt[ ]{x^2+1}}{(u.x^2+u)} \)

¿cómo voy?

saludos.

[Juan Pablo Sancho]

Hombre usa en el primer momento que  \( \displaystyle \lim_{u \to 0} \dfrac{\sen(u)}{u} = 1 \)

[mgranadosgg]

O sea:

\( \displaystyle\lim_{u \to{0}}{\displaystyle\frac{π}{\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1}{(\displaystyle\frac{π}{u})^2}}+1}} \)

¿voy bien ahora?


Gracias.

[Juan Pablo Sancho]

Si pero es más fácil:
\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\pi}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}} \cdot \dfrac{\sen(\dfrac{\pi}{x})}{\dfrac{\pi}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\pi}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}} \cdot \lim_{u \to 0} \dfrac{\sen(u)}{u}  \)