[mg]

hola,

Sea \( Y \) una variedad afín, sea \( D(Y) \) el espacio de direcciones de \( Y \), sea \( \overline{Y} \) la clausura proyectiva de \( Y \), sea \( H_\infty=\left\{(a_0:...:a_n)\in{}\mathbb{P}\;|\;a_0=0\right\} \). Entonces
\( dim(Y_\infty)=dim(\overline{Y}\cap H_\infty)=dim(D(Y))-1=dim(Y)-1 \). ¿Alguien sabría decirme por qué?

Gracias y un saludo

[geómetracat]

La idea básica es que si tienes una variedad afín \( Y \) dada por \( p+D(Y) \), y \( v_1,\dots,v_k \) es una base de \( D(Y) \), su clausura proyectiva \( \bar{Y} \) es la variedad proyectiva generada por los puntos \( (1:p), (0:v_1), \dots, (0:v_k) \) (donde la notación \( (1:p) \) quiere decir primera componente \( 1 \) y demás las que tuviera \( p \) en el espacio afín, y lo mismo con los \( (0:v_i) \)). De aquí puedes ver que \( \bar{Y} \cap H_\infty \) es la variedad proyectiva generada por los puntos \( (0:v_1), \dots, (0:v_k) \), que tiene dimensión \( k-1 \).

[mg]

Es cierto, muchas gracias geometracat.