[tersel]

Me explicarían cómo hacer el cálculo por favor.
Calcular: ( a). la masa de la Tierra sabiendo que la velocidad de escape es de 40.000 km/h y su radio es de 6.500 km.
(b). ¿Qué radio debería tener la Tierra para convertirse en un agujero negro?


Título corregido desde la moderación del foro.

[Abdulai]

Me explicarían cómo hacer el cálculo por favor.
Calcular: ( a). la masa de la Tierra sabiendo que la velocidad de escape es de 40.000 km/h y su radio es de 6.500 km.

Solamente tenés que despejar la masa de la fórmula que subiste y usar la calculadora, pasando primero la velocidad a \( \frac{m}{s} \)  y el radio a \( m \)

(b). ¿Qué radio debería tener la Tierra para convertirse en un agujero negro?

Si te dieron la expresión de la velocidad de escape no entiendo por qué no te dieron la del radio de Schwarzschild.

[JCB]

Hola a tod@s.

Respondiendo a Abdulai, ¿ quizás sea porque la expresión es la misma, y el redactor del ejercicio pretende que el alumno llegue a la conclusión de que la velocidad de escape de un agujero negro es tan grande, que ni siquiera la luz puede escapar de él ?.

Volviendo al primer apartado, y si tenemos en cuenta a la rotación de la Tierra, la velocidad de escape relativa a la velocidad de rotación, será menor en el ecuador que en los polos.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

La velocidad de escape ,es la velocidad mínima relativa al centro de la tierra con la que hay que dotar a un cuerpo que parte de su superficie , para que el campo gravitatorio terrestre no pueda hacerlo orbitar con una trayectoria eliptica.
La formula deriva de igualar la variación de energía potencial gravitatoria terrestre del cuerpo con la variación de energía cinética del cuerpo entre la superficie  de la tierra y el punto mas alejado que podamos imaginar, en el infinito.




\( \dfrac{GM_Tm}{R_T}=\dfrac{mv^2}{2} \)




De donde sale que




\( V_e=\sqrt{\dfrac{2GM_T}{R_T}} \)




Pero en este caso te piden que despejes la masa de la tierra




\( M_T=\dfrac{V_e^2R_T}{2G} \)




Ajusta unidades y calcula.




Para el punto b tenemos que replantear las mismas ecuaciones. Pero ahora tenemos en cuenta que la velocidad de escape sera la velocidad de la luz y la masa la de la Tierra




Entonces






\( \dfrac{GM_T}{R_T}=\dfrac{c^2}{2} \)




De donde despejas \( R_T \) que en este caso se lo denomina Radio de Schwarzchild, es el radio de una esfera donde tiene que alojarse toda la masa de la tierra para que la gravedad sea tan grande que ni siquiera la luz pueda escapar del potencial gravitatorio sobre la superficie de la esfera.




\( R_T=R_s=\dfrac{2GM_T}{c^2}
 \)

[Abdulai]

Respondiendo a Abdulai, ¿ quizás sea porque la expresión es la misma, y el redactor del ejercicio pretende que el alumno llegue a la conclusión de que la velocidad de escape de un agujero negro es tan grande, que ni siquiera la luz puede escapar de él ?.
...

Quizás,  pero me llamaba la atención que por un lado le dan la velocidad de escape "cocinada" , sin nada que deducir, y por otro que asocie la velocidad de la luz con la condición para convertirse en agujero negro.

Saludos.