Encuentra el límite conforme x tiende a infinito negativo menos infinito.
\( \displaystyle\frac{x^5 + 4x^2}{\sqrt[ ]{x^{10} + 8x^7}} \)
Buenas. Esto es lo que he hecho:
Dividiendo el numerador y el denominador por \( x^5 \):
Num: \( \displaystyle\frac{1}{x^5} (x^5 + 4x^2) = 1 + \displaystyle\frac{4}{x^3} \)
Den:
\( \displaystyle\frac{1}{x^5} \sqrt[ ]{x^{10} + 8x^7} = \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1}{x^{10}}} \sqrt[ ]{x^{10} + 8x^7} = \)
\( \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{x^{10}}{x^{10}} + \displaystyle\frac{8x^7}{x^{10}}} = \sqrt[ ]{1 + \displaystyle\frac{8}{x^3}} \)
\( \displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{} \displaystyle\frac{1 + \displaystyle\frac{4}{x^3}}{ \sqrt[ ]{1 + \displaystyle\frac{8}{x^3}}}
\)
Y aquí es dónde me surgen las dudas (si no me equivoqué con algo..). Sé que en \( \pm{\infty} \) las fracciones tienden a cero. Pero no tengo claro entonces si el resultado debería ser \( 1 \) o \( -1 \), ya que no se deduce ningún signo de esa expresión (o en todo caso sería positivo, por no haber ya ninguna variable).
¿Cómo se debe razonar aquí?
Saludos.
