Hola a todos! Realizando este ejercicio me he encontrado con las siguientes dudas. El enunciado es el siguiente.
Sea $$X$$ un espacio normado y $$M$$ un subespacio de dimensión finita de $$X$$, tal que $$M \neq X$$. Probar que existe $$x\in X$$ tal que $$\|x\| = d(x,M) = 1$$. Deducir que si $$X$$ tiene dimensión infinita, existe una sucesión $$\{x_n\}$$ en la esfera unidad de $$X$$ tal que $$\|x_n - x_m\| \geq 1$$ para cualesquiera $$n,m\in \mathbb N $$ con $$n\neq m$$.
Por un corolario del teorema de Hausdorff, por $$M$$ subespacio de $$X$$ normado de dimensión finita, entonces $$M$$ es cerrado.
Mi primera duda es su puedo afirmar esto: Por el Lema de Riezs, para cada $$\rho \in (0,1)$$, $$\exists x \in X $$ con $$\|x\| = 1$$ y $$d(x,M) \geq \rho$$. Como es válido para todo $$\rho \in (0,1)$$ tenemos que $$d(x_0,M) \geq 1$$.
Si no pudiese afirmarlo, ¿puedo usar lo siguiente para demostrar que $$d(x_0,M) \geq 1$$?
Dado $$x_0 \in X\backslash M$$, como $$M$$ es cerrado, ¿existe su mejor aproximación $$y_0 \in M$$ con $$\|x_0 - y_0| = d(x_0,M) = \alpha > 0$$? (Es la parte que me genera duda, si esto está bien el resto supongo que también).
Ahora, consideramos $$ x = \frac{x_0 - y_0}{\|x_0 - y_0\|}$$ donde es obvio que $$\|x\| = 1$$, y para todo $$y\in M$$ se tiene:
$$\|x-y\| = \left\|\frac{x_0 - y_0 - \|x_0 - y_0\|y }{\|x_0 - y_0\|}\right\| \geq \frac{\alpha}{\|x_0 - y_0\|}=1$$ donde uso que $$- y_0 - \|x_0 - y_0\|y \in M$$ por ser M subespacio cerrado.
Esto equivale a $$d(x,M) \geq 1$$.
Por otro lado, para todo $$y\in M$$ tenemos que:
$$ d(x,M) \leq \|x-y\| \leq \|x\| + \|y\| \leq \| x\| = 1$$
Entonces tenemos que $$\| x\| = d(x,M) = 1$$
Y ahora en la segunda parte del ejercicio he realizado lo siguiente (en esta parte mi duda es si lo que hago es suficiente para obtener el resultado o hago algo mal, sobretodo en la parte en la que digo $$M\neq X$$).
Elegimos de forma arbitraria un $$x_1$$ tal que $$\|x_1\|=1$$ y definimos $$M_1 = Lin\{x_1\}$$. Tenemos que $$M\neq X$$, porque sino $$X$$ sería finito y por hipótesis tenemos que es infinito. Así que por la primera parte del ejercicio tenemos que existe $$x \in X$$, el cual llamaremos $$x_2$$, con $$\|x_2\| = 1$$ tal que $$\|x_2 - x_1\| \geq d(x_2,M_1) = 1$$. Ahora, podemos repetir el proceso utilizando $$M_2 = Lin\{x_1,x_2\}$$ para obtener $$x_3$$, y hacerlo sucesivamente para obtener una sucesión de $$\{x_n\}$$ en la esfera unidad. Comprobemos ahora que para cualesquiera $$n,m \in \mathbb N$$ con $$n\neq m$$ se tiene que $$\|x_n - x_m\| \geq 1$$. Supongamos $$n > m$$, podemos decir que $$n-1 \geq m$$. Entonces tenemos que $$\|x_n - x_m\| \geq d(x_n,M_{n-1})=1$$ donde $$x_m \in M_{n-1} = Lin\{x_1,...,x_{n-1}\}$$. En el caso de que $$n<m$$ podemos usar que $$\|x_n-x_m\| = \|x_m-x_n\|$$ y lo demostramos análogamente.
¡Muchas gracias por adelantado!
