[mgranadosgg]

Hola y gracias de antemano.

Quisiera pedir ayuda con el siguiente ejercicio.

ENUNCIADO
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\( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{\sqrt[ ]{9x^4+4x^2+1}·tan(\displaystyle\frac{1}{x^2+3})} \)

me da una indeterminación del tipo \( \infty·0 \)

[mgranadosgg]

he pensado introducir la tangente en la raíz para buscar una indeterminación tipo \( \displaystyle\frac{\infty}{\infty} \)

[Ricardo Boza]

Hola,

Spoiler

\( x\to +\infty,\: \dfrac{1}{x^2+3}\to 0^+,\: \tan\Big(\dfrac{1}{x^2+3}\Big)=\dfrac{1}{x^2+3}+o\Big(\dfrac{1}{x^4}\Big)\), donde \(o\) es una función tal que \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{o\Big(\dfrac{1}{x^4}\Big)}{\dfrac{1}{x^4}}=0\)

Entonces:

\(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{\sqrt{9x^4+4x^2+1}}{x^2+3}+o\Big(\dfrac{1}{x^4}\Big)\sqrt{9x^4+4x^2+1}=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt{9+\dfrac{4}{x^2}+\dfrac{1}{x^4}}}{1+\dfrac{3}{x^2}}+\lim_{x\to+\infty}x^2 \cdot o\Big(\dfrac{1}{x^4}\Big) \sqrt{9+\dfrac{4}{x^2}+\dfrac{1}{x^4}}=3+\lim_{x\to +\infty}o\Big(\dfrac{1}{x^2}\Big)\)

\(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}o\Big(\dfrac{1}{x^2}\Big)=\lim_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x^2}\cdot \dfrac{o\Big(\dfrac{1}{x^2}\Big)}{\dfrac{1}{x^2}}=0\)

Por esto puede hacerse:

[cerrar]

\(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\sqrt{9x^4+4x^2+1}\cdot\tan\Big(\dfrac{1}{x^2+3}\Big)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{9x^4+4x^2+1}}{x^2+3}=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt{9+\dfrac{4}{x^2}+\dfrac{1}{x^4}}}{1+\dfrac{3}{x^2}}=3\)