[Arya_Stark]

Hola. Tengo el siguiente ejercicio que me esta costando bastante:
(a) Dada una serie convergente \( \sum_{n=1}^\infty{a_n} \), en donde cada \( a_n\geq 0 \) probar que \( \sum_{n=1}^\infty{\sqrt{a_n}n^{-p}} \) converge si \( p>1/2 \).
(b) Dar un contraejemplo para \( p=1/2 \).
Con la parte (a) no tengo dificultades pero no logro encontrar un contraejemplo.
Muchas gracias a quien me pueda ayudar.

[Masacroso]

Hola. Tengo el siguiente ejercicio que me esta costando bastante:
(a) Dada una serie convergente \( \sum_{n=1}^\infty{a_n} \), en donde cada \( a_n\geq 0 \) probar que \( \sum_{n=1}^\infty{\sqrt{a_n}n^{-p}} \) converge si \( p>1/2 \).
(b) Dar un contraejemplo para \( p=1/2 \).
Con la parte (a) no tengo dificultades pero no logro encontrar un contraejemplo.
Muchas gracias a quien me pueda ayudar.

He encontrado un contraejemplo tomando \( a_n:=\frac1{n (\ln (n+1))^2} \), sabía que una serie de este tipo convergía aunque no recuerdo ahora mismo por qué, y también sé que la serie \( \sum_{n\geqslant 1}\frac1{n\ln (n+1)} \) diverge. Creo que con el criterio de la integral lo puedes demostrar.

[Pie]

Hola. Tengo el siguiente ejercicio que me esta costando bastante:
(a) Dada una serie convergente \( \sum_{n=1}^\infty{a_n} \), en donde cada \( a_n\geq 0 \) probar que \( \sum_{n=1}^\infty{\sqrt{a_n}n^{-p}} \) converge si \( p>1/2 \).
(b) Dar un contraejemplo para \( p=1/2 \).
Con la parte (a) no tengo dificultades pero no logro encontrar un contraejemplo.
Muchas gracias a quien me pueda ayudar.

He encontrado un contraejemplo tomando \( a_n:=\frac1{n (\ln (n+1))^2} \), sabía que una serie de este tipo convergía aunque no recuerdo ahora mismo por qué, y también sé que la serie \( \sum_{n\geqslant 1}\frac1{n\ln (n+1)} \) diverge. Creo que con el criterio de la integral lo puedes demostrar.

 

Yo estaba probando con \( a_n = \displaystyle\frac{1}{n^k} \) para cualquier \(  k > 1 \) y no había forma XD

Saludos.

[Fernando Revilla]

He encontrado un contraejemplo tomando \( a_n:=\frac1{n (\ln (n+1))^2} \), sabía que una serie de este tipo convergía aunque no recuerdo ahora mismo por qué, y también sé que la serie \( \sum_{n\geqslant 1}\frac1{n\ln (n+1)} \) diverge. Creo que con el criterio de la integral lo puedes demostrar.

Está relacionado con las series de Bertrand.

[Juan Pablo Sancho]

También para:

He encontrado un contraejemplo tomando \( a_n:=\frac1{n (\ln (n+1))^2} \), sabía que una serie de este tipo convergía aunque no recuerdo ahora mismo por qué, y también sé que la serie \( \sum_{n\geqslant 1}\frac1{n\ln (n+1)} \) diverge. Creo que con el criterio de la integral lo puedes demostrar.

Podemos usar:
Condensación Cauchy

[Arya_Stark]

Corríjanme si me equivoco, pero al bajar el exponente nos queda \( \sum_{n\geq 1}\frac{1}{2nln(n+1)} \) que es \( \frac{1}{2}\sum_{n\geq 1}\frac{1}{nln(n+1)} \) que es la serie que diverge. Así que ese no funciona como contraejemplo.

[Juan Pablo Sancho]

Masacroso puso \( a_n = \dfrac{1}{n \cdot (ln(n+1))^2}  \) no \( \dfrac{1}{n \cdot ln(n+1)^2}  \)

[Arya_Stark]

Tienes razón, mi error. Muchas gracias a todos por la ayuda, me estaba costando un montón el contraejemplo.
Saludos.

[Fernando Revilla]

Corríjanme si me equivoco, pero al bajar el exponente nos queda \( \sum_{n\geq 1}\frac{1}{2nln(n+1)} \) que es \( \frac{1}{2}\sum_{n\geq 1}\frac{1}{nln(n+1)} \) que es la serie que diverge. Así que ese no funciona como contraejemplo.

El ejemplo que te ha dado Masacroso funciona. La serie de término general \( a_n=\dfrac1{n \ln^2 (n+1)} \) converge y la serie \[ \sum_{n=1}^\infty{\sqrt{a_n}n^{-1/2}}=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n\ln (n+1)} \] diverge.

P.D. Desenfundarón antes .