[KatherineR]

Hola chicos necesito ayuda con este ejercicio !!  No se realmente como hacerlo

Sea F(n) la función de Fibonacci definida como
F(1) = 0
F(2) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2)

Se pide
Probar por inducción que F(n) + F(n+4) = 3F(n+2)

[Fernando Revilla]

Bienvenido al foro.

Sea F(n) la función de Fibonacci definida como
F(1) = 0
F(2) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2)
Se pide
Probar por inducción que F(n) + F(n+4) = 3F(n+2)

Tenemos \( F(0)=0 \), \( F(2)=1 \), \( F(3)=1 \), \( F(4)=2 \), \( F(5)=3 \). Para \( n=1 \) la igualdad \( F(n) + F(n+4) = 3F(n+2) \) se transforma en \( F(1) + F(5) = 3F(3) \) (que se verifica).
Ahora, suponiendo que se verifica la fórmula \( F(n) + F(n+4) = 3F(n+2) \), tienes que demostrar que también se verifica \( F(n+1) + F(n+5) = 3F(n+3) \). Veamos que obtienes.

[KatherineR]

Entonces supongamos que F(k) es verdadera :

           F(k)+F(k+4)=3F(k+2)    HI

Probemos que para   F(k+1)+F(k+5)=3F(k+3)

                                                  HI= 3F(k+2) + F(k+1)
           
                                                      = 3F(k+3)

No se si esta bien resulto asi . Ahi ya concluyo que vale para todo n o esta mal ?

[Fernando Revilla]

Entonces supongamos que F(k) es verdadera : F(k)+F(k+4)=3F(k+2)    HI
Probemos que para   F(k+1)+F(k+5)=3F(k+3)
HI= 3F(k+2) + F(k+1)
            = 3F(k+3)No se si esta bien resulto asi . Ahi ya concluyo que vale para todo n o esta mal ?

No está bien resuelto. Sigue los pasos:

          \( \begin{aligned}
 F(k+1)+F(k+5)&=F(k+1)+F(k+4)+F(k+3)& \text{(Relac. Fib.)}\\
& =F(k+1)+F(k+4)+F(k+2)+F(k+1)& \text{(Relac. Fib.)}\\
& =F(k+1)+F(k+4)+F(k+1)+F(k)+F(k+1)& \text{(Relac. Fib.)}\\
& =3F(k+1)+3F(k+2)& \text{(Hip. Ind.)}\\
& =3\left(F(k+1)+F(k+2)\right)\\
& =3F(k+3).& \text{(Relac. Fib.)}
\end{aligned} \)