[Julio_fmat]

En \( \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^5 \) sean \( \Lambda_1: x_0=x_1=x_2=0 \), \( \Lambda_2: x_1-x_2=x_4=x_5=0 \), \( \Lambda_3: x_0=x_2=x_1-x_3=x_3-x_5=0 \) tres subespacios lineales proyectivos. Hallar las ecuaciones paramétricas y cartesianas de \( \Lambda_1+\Lambda_2 \).

Hola, ya lo había preguntado en otro hilo, pero no me quedo claro. Gracias por su comprensión.

[mg]

Buenas,

Lo primero que debes hacer es calcular una base de \( \lambda_1 \) y otra de \( \lambda_2 \). La suma \( \lambda_1+\lambda_2 \) vendrá dada por una base formada por los elementos de las bases anteriormente calculadas. A partir de ahí solo sería necesario calcular las implícitas y las paramétricas.

Un saludo

[Julio_fmat]

Buenas,

Lo primero que debes hacer es calcular una base de \( \lambda_1 \) y otra de \( \lambda_2 \). La suma \( \lambda_1+\lambda_2 \) vendrá dada por una base formada por los elementos de las bases anteriormente calculadas. A partir de ahí solo sería necesario calcular las implícitas y las paramétricas.

Un saludo

Muchas Gracias mg. Mi duda es como calcular las bases de \( \Lambda_1 \) y \( \Lambda_2 \), puedes ayudarme? 

[mg]

Hola,

Antes de calcular una base, es útil saber que dimensión tiene el subespacio proyectivo que estamos estudiando. Como \( \lambda_1 \) tiene 3 ecuaciones implícitas y el espacio proyectivo en que trabajamos tiene dimensión 5, entonces entonces existen 3 puntos proyectivos que forman la base de \( \lambda_1 \), pues su dimensión es 2. Ahora bien se observa que los puntos \( (0:0:0:1:0:0),(0:0:0:0:1:0),(0:0:0:0:0:1)\in{}\lambda_1\subseteq{}\mathbb{P}^5 \) y además son proyectivamente independientes, por tanto forman una base de dicha variedad proyectiva.

Trata ahora de calcular una base para \( \lambda_2 \).

Un saludo.

[Julio_fmat]

Muchas Gracias mg, pero no entiendo como calcular la base \( \Lambda_2 \)... Me puedes ayudar?

[mg]

Hola,

Ten en cuenta que las implicitas y las paramétricas de una variedad proyectiva y su variedad lineal asociada coinciden, por tanto, si calculas una base de la variedad lineal asociada también tendrás una base de la variedad proyectiva.

[Julio_fmat]

Hola,

Ten en cuenta que las implicitas y las paramétricas de una variedad proyectiva y su variedad lineal asociada coinciden, por tanto, si calculas una base de la variedad lineal asociada también tendrás una base de la variedad proyectiva.

Gracias, pero como calculas \( \Lambda_2 \)?

[mg]

Hola,

Considera la variedad lineal vectorial \( L\subseteq{}\mathbb{C}^5 \) tal que \( \pi(L)=\lambda_2 \). Donde \( \pi:\mathbb{C}^5\longrightarrow{}\mathbb{P}^5(\mathbb{C}) \) es la aplicación de proyección natural al espacio proyectivo. Esta variedad lineal vectorial\( L \), tiene ecuaciones implícitas \( \left\{{x_1-x_2=x_4=x_5=0}\right\} \). Ahora todo se reduce a calcular una base de una variedad lineal vectorial (o bien subespacio vectorial).

[Julio_fmat]

Muchas Gracias mg, pero tengo una duda, al tener

\( \Lambda_1=\left<{(0,0,0,1,0,0),(0,0,0,0,1,0),(0,0,0,0,0,1)}\right> \)

\( \Lambda_2=\left<{(1,0,0,0,0,0),(0,1,1,0,0,0), (0,0,0,1,0,0)}\right> \)

¿Cual es el vector que se elimina en \( \Lambda_1+\Lambda_2 \)? Y porque?

[Julio_fmat]

Ya lo tengo, es el vector \( (0,0,0,1,0,0) \)...