[Julio_fmat]

En \( \mathbb{P}_{\mathbb{K}}^{5} \) con \( \mathbb{K}=\mathbb{F}_7 \), encontrar las ecuaciones cartesianas y paramétricas del hiperplano \( H \) que pasa por el punto \( A=(1:0:0:-1:0:1) \) y tal que \( \pi \subset H \) con \( \pi: x_1-x_4=x_5+x_6=0. \)

Hola, de que forma determino las ecuaciones cartesianas y parametricas? Gracias.

[Julio_fmat]

Hola, pude sacar las ecuaciones parametricas, pero las cartesianas no me queda claro... Se tiene que:

\( \rho x_1=\mu_1+\mu_5 \)

\( \rho x_2=\mu_2 \)

\( \rho x_3=\mu_3 \)

\( \rho x_4=\mu_1+6\mu_5 \)

\( \rho x_5=\mu_1 \)

\( \rho x_6=6\mu_4+\mu_5 \)

[Julio_fmat]

La ecuacion cartesiana segun mi profesor es \( H: x_1+6x_4+5(x_6+x_5)=0 \). Pero como se llega a ello?

[Luis Fuentes]

Hola

\( \rho x_1=\mu_1+\mu_5 \)

\( \rho x_2=\mu_2 \)

\( \rho x_3=\mu_3 \)

\( \rho x_4=\mu_1+6\mu_5 \)

\( \rho x_5=\mu_1 \)

\( \rho x_6=6\mu_4+\mu_5 \)

No está bien.

La ecuacion cartesiana segun mi profesor es \( H: x_1+6x_4+5(x_6+x_5)=0 \). Pero como se llega a ello?

Cualquier hiperplano que contenga a \( \pi: x_1-x_4=x_5+x_6=0 \) está contenido en el haz de planos que generan las dos ecuaciones:

\( a(x_1-x_4)+b(x_5+x_6)=0 \)

Imponiendo que pase por el punto dado \( A=(1:0:0:-1:0:1) \) queda:

\( a(1+1)+b=0 \)

De donde \( b=-2a \). Tomando  queda:

\( x_1-x_4-2x_5-2x_6=0. \)

Saludos.

P.D. En \( \mathbb{K}=\mathbb{F}_7 \), \( 6=-1 \) y \( 5=-2 \).

[Julio_fmat]

Hola Luis, pero entonces las ecuaciones parametricas estan mal?

[Julio_fmat]

Entonces lo ultimo debo verlo como una propiedad de los planos?

[Julio_fmat]

¿Porque estan mal las ecuaciones parametricas?

[Julio_fmat]

Gracias Luis, entendi como hallar las ecuaciones cartesianas, pero mi duda ahora son las parametricas. Me puedes ayudar?

[Luis Fuentes]

Hola

¿Porque estan mal las ecuaciones parametricas?

Están mal, porque las ecuaciones paramétricas que has puesto no cumplen la ecuación cartesiana hallada:

\( x_1-x_4-2x_5-2x_6=0. \)

Para obtener las paramétricas resolvemos el sistema poniendo una variable en función de las demás. Por ejemplo:

\( x_1=x_3+2x_4+2x_6 \)

Entonces los parámetros son todas las variables menos \( x_1 \) que se expresa en función de ellos. Es decir:

\( x_1=b+2c+2e \)
\( x_2=a \)
\( x_3=b \)
\( x_4=c \)
\( x_5=d \)
\( x_6=e \)

Saludos.