[David.O]

Amigo, muchas gracias por tu ayuda. Será posible que me puedas ayudar con este ejercicio? No se como operar con esos factoriales...

\[ \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^n} \displaystyle\frac{(n!)^2}{(2n!)^2}  \]

Muchas gracias.

[sugata]

Estoy un poco oxidado en este tema, pero diría que los factoriales son positivos al estar elevados al cuadrado, por lo que quedaría evaluar \( (-1)^n \).
Pero \( (-1)^n \) oscila entre \( 1 \) y \( -1 \)

[Ricardo Boza]

Hola,

Si la serie del valor absoluto converge, la alternada también.

Considera \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \Big(\dfrac{n!}{2n!}\Big)^2\), donde \(a_n=\Big(\dfrac{n!}{2n!}\Big)^2\).

Criterio del cociente

\(\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_n \Big(\dfrac{(n+1)!}{(2n+2)!}\Big)^2: \Big(\dfrac{n!}{2n!}\Big)^2= \lim_n \Big(\dfrac{n+1}{(2n+2)(2n+1)}\Big)^2=0<1\), por lo que la serie converge absolutamente. La serie alternada también. 

[Masacroso]

Amigo, muchas gracias por tu ayuda. Será posible que me puedas ayudar con este ejercicio? No se como operar con esos factoriales...

\[ \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^n} \displaystyle\frac{(n!)^2}{(2n!)^2}  \]

Muchas gracias.

David, he dividido el tema original en dos. Cuando tengas una pregunta sobre algo diferente al tema original abre un nuevo tema, ¿ok?.

Pues tienes que \( n!/(2n!)=1/2 \). A no ser que hayas querido escribir \( (2n)! \) en vez de \( 2n! \), en tal caso observa que \( (2n)!=n!\cdot (n+1)\cdot (n+2)\cdots (2n) \), de donde se sigue que \( 0<\frac{n!}{(2n)!}=\frac1{(n+1)(n+2)\cdots (2n)}<\frac1{n^2} \) para cada \( n\geqslant 1 \).

[David.O]

Hola, lo tendré en cuenta. El ejercicio está propuesto \[ {(2n!)}, \]

Ya entendí de cómo es la solución. Muchas gracias.

[sugata]

Hola,

Si la serie del valor absoluto converge, la alternada también.

Considera \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \Big(\dfrac{n!}{2n!}\Big)^2\), donde \(a_n=\Big(\dfrac{n!}{2n!}\Big)^2\).

Criterio del cociente

\(\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_n \Big(\dfrac{(n+1)!}{(2n+2)!}\Big)^2: \Big(\dfrac{n!}{2n!}\Big)^2= \lim_n \Big(\dfrac{n+1}{(2n+2)(2n+1)}\Big)^2=0<1\), por lo que la serie converge absolutamente. La serie alternada también.

El óxido me hizo olvidar que si una serie converge, la alternada también.
Gracias por el capote.