[Arya_Stark]

Hola a todos. Tengo el siguiente problema, agradecería mucho algo de ayuda.
Con la factorización SVD tengo una matriz cuadrada en los reales \(  A=U \Sigma V^T  \) y me piden probar que \(  A=(UV^T)(V \Sigma V^T)  \) es una descomposición polar para  \(  A  \) (esto es \( A=UP  \)) y determinar para que clase de matrices se puede garantizar que \( P  \) es definida positiva. Probar que \(  UV^T \) es ortogonal y que \( V \Sigma V^T  \) es simétrica es algo bastante trivial, pero no sé como probar que \( V \Sigma V^T  \) es semidefinida positiva, y para la otra parte, usando MATLAB observé que los valores propios de \( V \Sigma V^T  \) son los valores singulares de \( A \) pero tampoco logro probar eso.
Muchas gracias a quien pueda ayudarme.

[Gustavo]

Hola. Nota que \( w \) es vector propio de \( V\Sigma V^T \) con valor propio \( \lambda \) si \( V\Sigma V^Tw=\lambda w \), que es equivalente a \( \Sigma(V^Tw)=\lambda (V^Tw) \), o sea que \( \lambda \) es un valor propio de (la matriz diagonal) \( \Sigma \).

Ten también en cuenta que puedes ver si una matriz simétrica es semidefinida positiva (definida positiva) si todos sus valores propios son no negativos (positivos).