[Pie]

Buenas. Me preguntaba cómo saber cuando la sumatoria de la inversa de un polinomio converge a un número racional o irracional. Por ejemplo, según el wolfram, la sumatoria:

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\displaystyle\frac{1}{n^2 + 4n + 3} = \displaystyle\frac{5}{12} \)

Pero

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \displaystyle\frac{1}{n^2 + 4n + 4} =\displaystyle\frac{\pi^2}{6} - \displaystyle\frac{5}{4}  \)

Me resulta muy curioso que sólo sumando 1 al anterior polinomio pueda cambiar tanto el número al que converge (o la fórmula para obtener directamente la suma de x términos).

Hay alguna forma o alguna regla para saber diferenciar un caso del otro? (o ya puestos para encontrar esas fórmulas, al menos las de números racionales ya que las de los irracionales parecen bastante más enrevesadas XD)

Saludos.

[Fernando Revilla]

Buenas. Me preguntaba cómo saber cuando la sumatoria de la inversa de un polinomio converge a un número racional o irracional. Por ejemplo, según el wolfram, la sumatoria: \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\displaystyle\frac{1}{n^2 + 4n + 3} = \displaystyle\frac{5}{12} \) Pero \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \displaystyle\frac{1}{n^2 + 4n + 4} =\displaystyle\frac{\pi^2}{6} - \displaystyle\frac{5}{4}  \) Me resulta muy curioso que sólo sumando 1 al anterior polinomio pueda cambiar tanto el número al que converge (o la fórmula para obtener directamente la suma de x términos). Hay alguna forma o alguna regla para saber diferenciar un caso del otro? (o ya puestos para encontrar esas fórmulas, al menos las de números racionales ya que las de los irracionales parecen bastante más enrevesadas XD)

No creo que haya tal regla. Por ejemplo,

        \[ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \displaystyle\frac{1}{n^2 + 4n + 4}=\displaystyle\frac{1}{3^2}+\displaystyle\frac{1}{4^2}+\displaystyle\frac{1}{5^2}+\ldots=-1^2-\displaystyle\frac{1}{2^2}+\underset{(\text{Serie de Basilea})}{\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \displaystyle\frac{1}{n^2}}=-\displaystyle\frac{5}{4}+\displaystyle\frac{\pi^2}{6} \].

        \[ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \displaystyle\frac{1}{n^2 + 4n + 3}=\displaystyle\frac{1}{3^2-1}+\displaystyle\frac{1}{4^2-1}+\displaystyle\frac{1}{5^2-1}+\ldots \].

Ese \( -1 \) del denominador cambia mucho las cosas .

[Pie]

No creo que haya tal regla. Por ejemplo,

        \[ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \displaystyle\frac{1}{n^2 + 4n + 4}=\displaystyle\frac{1}{3^2}+\displaystyle\frac{1}{4^2}+\displaystyle\frac{1}{5^2}+\ldots=-1^2-\displaystyle\frac{1}{2^2}+\underset{(\text{Serie de Basilea})}{\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \displaystyle\frac{1}{n^2}}=-\displaystyle\frac{5}{4}+\displaystyle\frac{\pi^2}{6} \].

        \[ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \displaystyle\frac{1}{n^2 + 4n + 3}=\displaystyle\frac{1}{3^2-1}+\displaystyle\frac{1}{4^2-1}+\displaystyle\frac{1}{5^2-1}+\ldots \].

Ese \( -1 \) del denominador cambia mucho las cosas .

Vaya, no me había dado cuenta de que \( 4n + 4  \) daba justo la diferencia entre cuadrados XD lo puse casi sin pensar después de probar con varios polinomios (aunque tendría que haberlo sospechado viendo el resultado XD)

Pues pensé que habría alguna regla o algo, relacionada con los coeficientes de los polinomios o algo así..

Saludos.

[geómetracat]

Como dice Fernando no hay tal regla. En general es muy complicado saber si la suma de una serie convergente es racional o no, y ya no digamos calcular la suma. Por ejemplo, en el caso de la función zeta de Riemann, que está definida por la serie:
\[ \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} \]
tienes que \( \zeta(2n) \) se sabe calcular y se sabe que es irracional (el caso \( n=2 \) es la de Basilea que ha usado Fernando), pero sobre el caso impar \( \zeta(2n+1) \) se sabe muy poco. Se conjetura que son irracionales, pero solo se ha conseguido probar en el caso \( \zeta(3) \) después de muchísimo esfuerzo (teorema de Ápery).
Hay un montón de series convergentes para las que se conjetura que su suma es irracional pero no se ha podido demostrar.

Por cierto, para sumar la primera serie que pones, fíjate que haciendo la descomposición en fracciones simples tienes \[ \frac{1}{n^2+4n+3}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}\right) \].
Entonces:
\[ \sum_{n=1}^N \left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}\right) = \frac{1}{2} -\frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \dots + \frac{1}{N} - \frac{1}{N+2} + \frac{1}{N+1} - \frac{1}{N+3} = \frac{1}{2}+\frac{1}{3} - \frac{1}{N+2} - \frac{1}{N+3}  \]
porque los términos de en medio se van cancelando entre sí. Esto es lo que se conoce a veces como una suma telescópica (porque es como un catalejo plegable, que tiene muchas secciones pero se van encogiendo al plegarlo).
Ahora, si tomas el límite \( N \to \infty \) obtienes:
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4+4n+3} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right) =\frac{5}{12}  \]

[Pie]

Gracias geómetracat. Ya veo que es más complicado (y bonito en cierto modo) de lo que pensaba. Muy buena la explicación de la primera serie.

Saludos.

[Pie]

Buenas otra vez. Aunque ya me quedó claro que no hay ninguna regla general, estaba pensando si se puede afirmar esto (para polinomios de segundo grado):

Sea \( p(n) = an^2 + bn + c \), con \( b > c > a \), si \( b \) es un múltiplo de \( a \), y \(  c = b - a \), entonces la serie:

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \displaystyle\frac{1}{p(n)} \)

converge a un número racional.

PD: Ya sé que esto serviría sólo para unos pocos casos, y que igual es de perogrullo, pero es por encontrar al menos una regla "sencilla" que dé siempre racionales..

Saludos.

[geómetracat]

Me gustaría saber cómo has llegado a esa conjetura. Yo de momento solo me atrevería a afirmar que la suma es racional cuando las dos raíces del polinomio del denominador son enteras (porque entonces acabas con una suma telescópica como la que te puse).

[martiniano]

Hola.

Si estás asumiendo \( a,b,c \) enteros diría que la conjetura es cierta ya que si definimos \( k\in{\mathbb{Z}} \) tal que \( b=ka \) y \( c=b-a=(k-1)a \) entonces las raíces \( p(n) \) son \( -1 \) y \( 1-k \), ambas enteras, y entonces, como te ha dicho geómetracat la serie es telescópica y su suma racional.

Si no asumes \( k \) entero, entoces diría que la conjetura es falsa, ya que la serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{n^2+kn+k-1}} \) con \( k>2 \) converge uniformemente y, por tanto, lo hace a una función continua, que no puede tomar sólo valores racionales ni sólo irracionales, porque si así fuese sería una función constante, y basta calcular la suma de la serie para dos \( k \) enteros distintos para ver que no lo es.

Espero que esté todo bien y que te sirva. Un saludo.

[ciberalfil]

El fenómeno es incluso más general, ocurre hasta con las sucesiones. Por ejemplo:

\( a_n=(1-\alpha ^{n})^{1/n} \)

con \( \alpha \) racional positivo menor que 1

Esta sucesión tiene todos sus términos irracionales si \( n>2 \) No es difícil demostrarlo usando el teorema de fermat. Pero su límite ¿es racional o irracional? Pues resulta que su límite es racional siempre.

Yo hace tiempo que le doy vueltas al hecho de que en las sucesiones y series convergentes algunas propiedades cambian en el límite. Por ejemplo, una sucesión de números racionales puede tener un límite irracional o al revés como en el ejemplo que puse, pero no es el único caso. Depende de la propiedad que estemos considerando. He buscado literatura al respecto pero no encontré nada.

Salu2.

[geómetracat]

Hola.

Si estás asumiendo \( a,b,c \) enteros diría que la conjetura es cierta ya que si definimos \( k\in{\mathbb{Z}} \) tal que \( b=ka \) y \( c=b-a=(k-1)a \) entonces las raíces \( p(n) \) son \( -1 \) y \( 1-k \), ambas enteras, y entonces, como te ha dicho geómetracat la serie es telescópica y su suma racional.

Si no asumes \( k \) entero, entoces diría que la conjetura es falsa, ya que la serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{n^2+kn+k-1}} \) con \( k>2 \) converge uniformemente y, por tanto, lo hace a una función continua, que no puede tomar sólo valores racionales ni sólo irracionales, porque si así fuese sería una función constante, y basta calcular la suma de la serie para dos \( k \) enteros distintos para ver que no lo es.

Espero que esté todo bien y que te sirva. Un saludo.

Pues es verdad. No sé cómo lo leí que me salté la condición de que \( b \) sea múltiplo de \( a \). Así está claro.