Siempre que leo sobre el homomorfimos me paro y me pregunto ¿Para que sirve?¿lo utilizo sin percatarme?¿qué aporta a la teoría? Pero en toda las lecturas solo consigo más de los mismo una serie de definiciones y propiedades que van al archivo y se quedan en el baúl de los recuerdos. Si me preguntan ¿Qué es homomorfimos? solo tengo una respuesta que más que algo qué sé es solo algo dogmático que parece más a una plegaria aprendida de memoria. Muchas gracias a todos de ante mano.
Un homomorfismo es una función entre dos estructuras algebraicas (u otro tipo de espacio matemático no necesariamente "algebraico") de un mismo tipo que conserva de alguna manera las propiedades de esos espacios, es decir que si \( (A, \odot) \) y \( (B,\otimes) \) son, por ejemplo, dos estructuras algebraicas definidas por operaciones internas \( \odot \) y \( \otimes \) (por ejemplo si son grupos tienen operaciones de grupo, las cuales deben cumplir una serie de axiomas) entonces \( h:A\to B \) es un homomorfismo entre \( A \) y \( B \) si y solo si \( h(x\odot y)=h(x)\otimes h(y) \).
En esencia: un homomorfismo es una función entre espacios matemáticos del mismo tipo que transporta (o conserva) de alguna manera las propiedades que definen esos espacios al mapear desde un espacio a otro.
Otro ejemplo: si tenemos dos espacios topológicos, \( (A, \mathscr{A}) \) y \( (B, \mathscr{B}) \), entonces un homomorfismo entre ellos es una función continua, que en este caso quiere decir que \( f^{-1}(C)\in \mathscr{A} \) para todo \( C\in \mathscr{B} \).
Cuando un homomorfismo tiene una función inversa que también es un homomorfismo entonces en ese caso se dice que tal función es un isomorfismo.
