[Taniadiaz]

Demuestre que si   \(  I : = [a,b]  \) y  \( f : I \rightarrow{} R \) es creciente en  \( I  \) entonces \( f \) es continua en \( a \) si y solo si
 \(  f(a) = inf\{f(x) : x\in{}(a,b)\} \)

Lo he resuelto así:
Sea \( f \) continua en  \(  x = a \rightarrow{} \displaystyle\lim_{x \rightarrow{}a^+} f(x) = f(a) \)

Si se supone que  \( inf \{f(x)/x \in{}]a,b[\} =L \neq f(a) \rightarrow{}L>f(a)  \)
 \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow{}a^+} f(x) = f(a)\rightarrow{}  \) si \(  \epsilon = \frac{f(a) - L}{2}> 0\exists{}\delta>0/a< x <a + \delta \rightarrow{} |f(x) - f(a) |< \epsilon \rightarrow{}  \)
 \(  |f(x) - f(a) |< \dfrac{f (a) - L}{2}\rightarrow{} f(x) - f(a)<  \frac{f (a) - L}{2}\rightarrow{} 2f(x) - 2f(a)< f(a) - L \rightarrow{} \)
 \(  f(x)< \dfrac{3f(a)-L}{2} \rightarrow{}f(x) < \frac{3f(a)-f(a)}{2}\rightarrow{} f(x)< f(a) \) contradicción pues,  \(  x>a \)

Por lo contrario si supongo que   \(  inf\{f(x) : x \in{}(a,b)\} = f(a)  \) entonces   \( \epsilon>0  \) teniendo en cuenta que   \(  f(a) + \epsilon \) no es un limite inferior para   \( \{f(x) : x \in{} (a,b)\} \) ya que es mayor que el máximo limite inferior   \( f(a)  \) por tanto debe existir algún   \( c \in{}(a,b)  \) tal que   \( f(a)\leq{} f(c)< f(a) + \epsilon \)
Debido a que f está aumentando, sabemos que para cualquier   \(  x \in{}[a,c) \)
  \(  f(a)\leq{}f(x)\leq{}f(c)<f(a)+\epsilon \Rightarrow{} 0 \leq{} f(x) - f(a)< \epsilon \)
  \( \Rightarrow{} |f(x) - f(a)| = f(x) - f(a)<\epsilon \)
Entonces al tomar   \(  \delta= c - a > 0 \)
Luego   \( 0\leq{}x-a<\delta\Rightarrow{} a \leq{} x<c \Rightarrow{} |f(x) - f(a)<\epsilon \)
Por lo que   \(  \displaystyle\lim_{x \rightarrow{}a^+} f(x) = f(a) \)
\( f \) es continua en \( a \).

Espero esté bien el ejercicio, me tomó horas. Amigos si no es la forma correcto. Agradezco me ayuden por favor!

[Luis Fuentes]

Hola

 En general las ideas son correctas; pero tienes un fallo en la primera parte:

Demuestre que si   \(  I : = [a,b]  \) y  \( f : I \rightarrow{} R \) es creciente en  \( I  \) entonces \( f \) es continua en \( a \) si y solo si
 \(  f(a) = inf\{f(x) : x\in{}(a,b)\} \)

Lo he resuelto así:
Sea \( f \) continua en  \(  x = a \rightarrow{} \displaystyle\lim_{x \rightarrow{}a^+} f(x) = f(a) \)

Si se supone que  \( inf \{f(x)/x \in{}]a,b[\} =L \neq f(a) \rightarrow{}\color{red}L>f(a)\color{black}  \)
 \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow{}a^+} f(x) = f(a)\rightarrow{}  \) si \(  \color{red}\epsilon = \frac{f(a) - L}{2}> 0\color{black}\exists{}\delta>0/a< x <a + \delta \rightarrow{} |f(x) - f(a) |< \epsilon \rightarrow{}  \)
 \(  |f(x) - f(a) |< \dfrac{f (a) - L}{2}\rightarrow{} f(x) - f(a)<  \frac{f (a) - L}{2}\rightarrow{} 2f(x) - 2f(a)< f(a) - L \rightarrow{} \)
 \(  f(x)< \dfrac{3f(a)-L}{2} \rightarrow{}f(x) < \frac{3f(a)-f(a)}{2}\rightarrow{} f(x)< f(a) \) contradicción pues,  \(  x>a \)

Si \( L>f(a) \) el epsilon que has cogido \(  \color{red}\epsilon = \frac{f(a) - L}{2}> 0\color{black} \) en realidad sería negativo.

Tendría que ser en realidad \( \epsilon = \frac{L-f(a)}{2} \), con lo cual en el desarrollo en realidad te queda:

\( f(x)-f(a)<\dfrac{L-f(a)}{2}\quad \Rightarrow{}\quad f(x)<\dfrac{L+f(a)}{2}<L \)

lo cuál contradice que \( L \) sea el ínfimo.

La segunda parte está bien.

Saludos.

[Taniadiaz]

Entonces el ejercicio completo queda así?
Si \( L> f(a)  \epsilon = \frac{L - f(a)}{2}  \longrightarrow{} \)

 \( f(x) - f(a) <  \frac{L - f(a)}{2}\Rightarrow{} f(x) < \frac{L + f(a)}{2}< L \)
Por el contrario, al suponer que  \( inf \{ f(x) : x \in{} (a,b)\} = f(a)  \epsilon > 0  \)
Teniendo en cuenta que  \( f(a)+ \epsilon  \) no es un límite inferior para  \(  \{f(x) : x \in{}(a,b)\}  \) ya que es mayor que el máximo limite inferior f(a) por lo tanto debe existir algún  \( c \in{} (a,b)  \) tal que  \(  f(a)\leq{} f(c)< f(a)+\epsilon \)
Como  \(  f \) esta aumentado entonces para cualquier  \( x \in{}[a,c)  \)
 \( f(a)\leq{} f(x)\leq{}f(c)<f(a)+\epsilon \Rightarrow{}0 \leq{}f(x) - f(a)<\epsilon \)
 \( \Rightarrow{}|f(x) - f (a)| = f(x) - f(a)<\epsilon  \)
Entonces si tomamos  \( \delta = c - a > 0  \) luego  \( 0 \leq{} x-a<\delta \rightarrow{} a\leq{}x<c \Rightarrow{} | f(x) - f(a)|<\epsilon \)
 \(  lim_{x \rightarrow{}a^+} f(x) = f(a) \) por lo que  \( f  \) es continua en  \(  a \).

[Luis Fuentes]

Hola

Entonces el ejercicio completo queda así?
Si \( L> f(a)  \epsilon = \frac{L - f(a)}{2}  \longrightarrow{} \)

 \( f(x) - f(a) <  \frac{L - f(a)}{2}\Rightarrow{} f(x) < \frac{L + f(a)}{2}< L \)

 Ahí te falta decir que \( f(x)<L \) es contradictorio con que L sea el ínfimo.

Saludos.