[carlosbayona]

Pruebe que si \( f(x) =\displaystyle \sum_{n=1}^\infty{} \dfrac{x^n}{n}, 0\leq{}x<1 \), entonces
\( \displaystyle\int_{0}^{1} f(x)dx=\displaystyle \sum_{n=1}^\infty{}\dfrac{1}{n(n+1)} \)
Solución
\(  f(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\frac{x^n}{n}\rightarrow{} \int_{}^{}f(x)dx =\displaystyle \sum_{n=1}^\infty{}\int_{}^{}\dfrac{x^n}{n}dx = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}+ C \rightarrow{} \)
\( \displaystyle \int_{0}^{1}f(x) dx= [\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\dfrac{x^{n+1}}{n(n+1]}]_{0}^{1} =\displaystyle \sum_{n=1}^\infty{}\frac{1}{n(n+1)}-0= \sum_{n=1}^\infty{}\dfrac{1}{n(n+1)}  \)
Es correcto? Es una integral propia o impropia?

[Masacroso]

Pruebe que si \( f(x) = \sum_{n=1}^\infty{} \frac{x^n}{n}, 0\leq{}x<1 \), entonces
\( \int_{0}^{1} f(x)dx= \sum_{n=1}^\infty{}\frac{1}{n(n+1)} \)
Solución
\(  f(x) = \sum_{n=1}^\infty{}\frac{x^n}{n}\rightarrow{} \int_{}^{}f(x)dx = \sum_{n=1}^\infty{}\int_{}^{}\frac{x^n}{n}dx = \sum_{n=1}^\infty{}\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}+ C \rightarrow{} \)
\(  \int_{0}^{1}f(x) dx= [\sum_{n=1}^\infty{}\frac{x^{n+1}}{n(n+1]}]_{0}^{1} = \sum_{n=1}^\infty{}\frac{1}{n(n+1)}-0= \sum_{n=1}^\infty{}\frac{1}{n(n+1)}  \)
Es correcto? Es una integral propia o impropia?

Puede ser considerada una integral de Riemann impropia, observa que \( f(1) \) no existe como número real, así que no puede ser una integral de Riemann normal en el intervalo \( [0,1] \). El resultado es correcto pero deberías justificar por qué se puede cambiar de orden el sumatorio y la integral, y también sería bueno ver por qué \( f \) es impropiamente integrable.

AÑADO: como el título del tema es "demostración" entonces definitivamente no es una demostración, ya que en una demostración hay que justificar cada paso.

[carlosbayona]

Creo que no escogí el tema apropiado para mi ejercicio, en el se me pide probar, creo que la respuesta si satisface lo que me pide el ejercicio. Osea si lo pude probar, O estoy equivocado? Que me podéis decir?

[Luis Fuentes]

Hola

Creo que no escogí el tema apropiado para mi ejercicio, en el se me pide probar, creo que la respuesta si satisface lo que me pide el ejercicio. Osea si lo pude probar, O estoy equivocado? Que me podéis decir?

Te lo está diciendo claramente: tienes que justificar más algunos pasos.

Puede ser considerada una integral de Riemann impropia, observa que \( f(1) \) no existe como número real, así que no puede ser una integral de Riemann normal en el intervalo \( [0,1] \). El resultado es correcto pero deberías justificar por qué se puede cambiar de orden el sumatorio y la integral, y también sería bueno ver por qué \( f \) es impropiamente integrable.

Saludos.

P.D. Por favor, cuida la ortografía.

[carlosbayona]

 Se puede justificar de la siguiente manera
\(  f(x) \rightarrow{}\sum_{}{}\frac{1}{n}= \infty \) cuando \(  x\rightarrow{}1 \) entonces \( f  \) no es una función acotada, por tanto la integral es una integral impropia.
Al calcular la integral \(  \int_{0}^{t} f(x) dx  \) para \( t <1  \) y tomar el límite, la serie \( \sum_{}^{}\frac{t^{n+1}}{n(n+1)}  \) es uniformemente convergente  y esto justifica el cálculo intercambiando el límite (cuando t aumenta a 1) y la suma sobre n.
Que me dicen? Como quedaría la demostración entonces? Puedo concluir con esto, osea añadirlo al final para tener una demostración completa?

[Masacroso]

Se puede justificar de la siguiente manera
\(  f(x) \rightarrow{}\sum_{}{}\frac{1}{n}= \infty \) cuando \(  x\rightarrow{}1 \) entonces \( f  \) no es una función acotada, por tanto la integral es una integral impropia.
Al calcular la integral \(  \int_{0}^{t} f(x) dx  \) para \( t <1  \) y tomar el límite, la serie \( \sum_{}^{}\frac{t^{n+1}}{n(n+1)}  \) es uniformemente convergente  y esto justifica el cálculo intercambiando el límite (cuando t aumenta a 1) y la suma sobre n.
Que me dicen? Como quedaría la demostración entonces? Puedo concluir con esto, osea añadirlo al final para tener una demostración completa?

Yo diría que casi. La convergencia uniforme se produce en todo conjunto compacto de la forma \( [0, 1-\epsilon ] \), para un \( \epsilon\in(0,1) \) cualquiera. Eso te permite justificar el cambio de la suma y la integral en cualquiera de esas regiones, y los detalles que quieras dar sobre esto o no dependen del contexto o lo que te exijan. Ahora ya solo te faltaría mostrar (que no es difícil, se sigue de la convergencia uniforme de los valores de las integrales) que el límite de las integrales da lugar justamente a lo que suponías.

Otra justificación de la convergencia vendría de la teoría de integración de Lebesgue, en dos pasos: uno observar que la integral de Riemann impropia, en este caso, coincide con la correspondiente integral de Lebesgue debido a que el integrando es no-negativo; y el segundo paso sería invocar o bien el teorema de convergencia monótona, o bien el teorema de Tonelli.