[manooooh]

Hola

No hombre, ¡si eso es muy fácil!
Una aplicación es biyectiva si es inyectiva y exhaustiva. Si tienes \( f:A \to B \) inyectiva (pero quizás no exhaustiva), y consideras la aplicación \( f:A \to f(A) \) (es decir, es la misma aplicación, pero ahora consideras que el recorrido es la imagen \( f(A) \) en vez de todo \( B \)), la aplicación seguirá siendo inyectiva (porque es la misma función, lo único que cambia es el conjunto de llegada), y será exhaustiva por definición de imagen \( f(A) \). Así que será biyectiva.

Ahora sí! Claro, si es inyectiva es un conjunto "grande", lo será en cualquier subconjunto no vacío de él. Gracias!

Saludos

[manooooh]

Hola

Me gustaría retomar un poco sobre esta frase:

No es buena idea tratar de probar \( B \subseteq f(A) \). (...)

¿Por qué no es buena idea?

A ver, alguna forma directa tendrá que haber para poder demostrar \( ([x]_n,[x]_m)\in \Bbb{Z}_n\times\Bbb{Z}_m\to ([x]_n,[x]_m)\in f(\Bbb{Z}_{nm}) \), ¿o quizás reducción al absurdo suponiendo \( ([x]_n,[x]_m)\notin f(\Bbb{Z}_{nm}) \)?

O bien la definición clásica: \( \forall([x]_n,[x]_m)\in\Bbb{Z}_n\times\Bbb{Z}_m\,\exists[x]_{nm}\in\Bbb{Z}_{nm}\mid f([x]_{nm})=([x]_n,[x]_m) \).

Dado \( ([x]_n,[x]_m)\in\Bbb{Z}_n\times\Bbb{Z}_m \), si elegimos \( x=ans+amt \) con \( s,t\in\Bbb{Z} \) veremos que se cumple la igualdad, pero no entiendo de dónde sale esa \( a \) según dice aquí, nosotros tenemos \( x\pmod{nm}\iff[x]_{nm} \) y ahí dice \( x=a\pmod{n} \). ¿Cómo probarlo usando nuestra notación?

Saludos

[geómetracat]

¿Por qué no es buena idea?

Porque si lo único que quieres es demostrar \( \Bbb Z_n \times \Bbb Z_m \cong \Bbb Z_{nm} \) es mucho más fácil apelar al argumento que te dí que dar una prueba directa de que la función es exhaustiva. Compara decir "como tenemos una aplicación inyectiva entre dos conjuntos finitos del mismo cardinal, es una biyección", con el argumento del enlace.

Ahora bien, la demostración directa tiene sus ventajas: te da un algoritmo para resolver sistemas de congruencias. En cambio la demostración que te dí no te dice cómo encontrar la antiimagen de un par dado, solo que existe.

A ver, alguna forma directa tendrá que haber para poder demostrar \( ([x]_n,[x]_m)\in \Bbb{Z}_n\times\Bbb{Z}_m\to ([x]_n,[x]_m)\in f(\Bbb{Z}_{nm}) \), ¿o quizás reducción al absurdo suponiendo \( ([x]_n,[x]_m)\notin f(\Bbb{Z}_{nm}) \)?

O bien la definición clásica: \( \forall([x]_n,[x]_m)\in\Bbb{Z}_n\times\Bbb{Z}_m\,\exists[x]_{nm}\in\Bbb{Z}_{nm}\mid f([x]_{nm})=([x]_n,[x]_m) \).

Sí, claro. La del documento que enlazas.

Dado \( ([x]_n,[x]_m)\in\Bbb{Z}_n\times\Bbb{Z}_m \), si elegimos \( x=ans+amt \) con \( s,t\in\Bbb{Z} \) veremos que se cumple la igualdad, pero no entiendo de dónde sale esa \( a \) según dice aquí, nosotros tenemos \( x\pmod{nm}\iff[x]_{nm} \) y ahí dice \( x=a\pmod{n} \). ¿Cómo probarlo usando nuestra notación?

Es que no tienes que empezar con \( ([x]_n,[x]_m) \in \Bbb Z_n \times \Bbb Z_m \). Eso está obviamente en la imagen de \( f \), es por definición \( f([x]_{nm}) \). Hay que tomar un elemento arbitrario, de la forma \( ([a]_n,[b]_m) \) y ver que existe un \( [x]_{nm} \in \Bbb Z_{nm} \) tal que \( f([x]_{nm})=([a]_n,[b]_m) \), es decir, \( [x]_n=[a]_n \) y \( [x]_m=[b]_m \), o equivalentemente y usando notación de congruencias:
\( x \equiv a \mod n \)
\( x \equiv b \mod m \)

Así se conecta nuestra notación con la del enlace.

[manooooh]

Hola

No comprendo el elemento genérico que tomas. Lo que yo tomé fue un elemento genérico de acuerdo a la definición de la función. Es decir, me daba igual que sea \( [a]_n,[b]_m \) o \( [x]_n,[x]_m \), pensé que no importaba el nombre siempre y cuando sea un elemento genérico.

¿Y si por ejemplo queremos demostrar la sobreyectividad de \( f\colon\Bbb R\to\Bbb R^2\mid f(x)=(x,\ln(x)) \), ¿también habría que tomar \( (a,b)\in\Bbb R^2 \) en vez de \( (x,\ln(x))\in\Bbb R^2 \)? ¿Cómo sería en este caso?

EDIT: Vale, creo que ya sé por qué me equivoco, y es que el elemento genérico debe ser del codomonio, no de la imagen. ¿Es así?

Gracias y saludos

[geómetracat]

EDIT: Vale, creo que ya sé por qué me equivoco, y es que el elemento genérico debe ser del codomonio, no de la imagen. ¿Es así?

Claro, es eso. En el ejemplo que has puesto \( f(x)=(x,\ln(x)) \), la función no es exhaustiva (por ejemplo, \( (1,1)\in \Bbb R^2 \) pero no existe ningún \( x \) tal que \( f(x)=(1,1) \)). Pero sin embargo si tomas un elemento de la imagen, de la forma \( (x,\ln(x)) \), obviamente es imagen de alguien, de \( x \).

[manooooh]

Hola

Para ver que un homomorfismo es inyectivo es más fácil ver que su núcleo es cero. (...)

Quería saber la prueba de que es inyectivo sin utilizar que el núcleo sea cero, porque estoy atascado en un punto. Por ejemplo tomemos el caso particular \( n=3,m=5 \): \( f\colon\Bbb{Z}_{15}\to\Bbb{Z}_3\times\Bbb{Z}_5\mid f([x]_{15})=([x]_3,[x]_5) \).

Debemos ver que para todo \( [x]_{15},[y]_{15}\in\Bbb{Z}_{15} \) si \( f([x]_{15})=f([y]_{15}) \) entonces \( [x]_{15}=[y]_{15} \). Pero \( f([x]_{15})=f([y]_{15}) \) significa \( ([x]_3,[x]_5)=([y]_3,[y]_5) \). Luego \( [x]_3=[y]_3 \) y \( [x]_5=[y]_5 \), lo que significa \( x\equiv y\pmod3 \) y \( x\equiv y\pmod5 \). Por definición de congruencia, \( x-y=3k \) y \( x-y=5k' \) con \( k,k'\in\Bbb{Z} \). Multiplicando convenientemente, \( 5(x-y)=15k \) y \( 3(x-y)=15k' \). A partir de aquí no sé cómo proseguir.

¿Está bien tomar \( [x]_{15},[y]_{15}\in\Bbb{Z}_{15} \) o debe ser \( x,y\in\Bbb{Z}_{15} \)? En cuyo caso se debe demostrar que \( f(x)=f(y)\to x=y \).

Gracias y saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Para ver que un homomorfismo es inyectivo es más fácil ver que su núcleo es cero. (...)

Quería saber la prueba de que es inyectivo sin utilizar que el núcleo sea cero, porque estoy atascado en un punto. Por ejemplo tomemos el caso particular \( n=3,m=5 \): \( f\colon\Bbb{Z}_{15}\to\Bbb{Z}_3\times\Bbb{Z}_5\mid f([x]_{15})=([x]_3,[x]_5) \).

Vaya por delante en que no hay niguna diferencia esencial en probarlo o no a través de la comprobación que el núcleo es cero. El motivo a continuación...

Debemos ver que para todo \( [x]_{15},[y]_{15}\in\Bbb{Z}_{15} \) si \( f([x]_{15})=f([y]_{15}) \) entonces \( [x]_{15}=[y]_{15} \). Pero \( f([x]_{15})=f([y]_{15}) \) significa \( ([x]_3,[x]_5)=([y]_3,[y]_5) \). Luego \( [x]_3=[y]_3 \) y \( [x]_5=[y]_5 \), lo que significa \( x\equiv y\pmod3 \) y \( x\equiv y\pmod5 \). Por definición de congruencia, \( x-y=3k \) y \( x-y=5k' \) con \( k,k'\in\Bbb{Z} \). Multiplicando convenientemente, \( 5(x-y)=15k \) y \( 3(x-y)=15k' \). A partir de aquí no sé cómo proseguir.

Lo que te falta probar es que si \( x-y=3k \) y \( x-y=5k' \), entonces \( (x-y) \) es múltiplo de \( 15 \). Pero eso es lo mismo que probar que si \( f([z]_{15}=0 \) entonces \( [z]_{15}=[0]_{15} \) para \( z=x-y \). Es decir si sabes probar que el núcleo es cero sabes probar lo que te queda.

Lo único que tienes que usar en cualquier caso es que si \( z \) es divisible por \( p \) y \( q \) coprimos entonces es divisible por \( pq \).

¿Está bien tomar \( [x]_{15},[y]_{15}\in\Bbb{Z}_{15} \) o debe ser \( x,y\in\Bbb{Z}_{15} \)? En cuyo caso se debe demostrar que \( f(x)=f(y)\to x=y \).

Está bien de las dos formas. En el primer caso \( [x]_{15} \) denota la clase del elemento \( x\in \Bbb Z \). En el segundo \( x\in \Bbb Z_{15} \) denota a la clase algún elemento. Es decir en el fondo tendríamos \( x=[a]_{15} \) para algún \( a\in \Bbb Z \).

No obstante me parece más útil la primera notación porque tarde o temprano tendrás que usar un representante de la clase (del elemento de \( \Bbb Z_{15} \) que estás manejando.

Saludos.

[manooooh]

Hola

Lo que te falta probar es que si \( x-y=3k \) y \( x-y=5k' \), entonces \( (x-y) \) es múltiplo de \( 15 \). Pero eso es lo mismo que probar que si \( f([z]_{15}=0 \) entonces \( [z]_{15}=[0]_{15} \) para \( z=x-y \). Es decir si sabes probar que el núcleo es cero sabes probar lo que te queda.

Lo único que tienes que usar en cualquier caso es que si \( z \) es divisible por \( p \) y \( q \) coprimos entonces es divisible por \( pq \).

Pero según la definición de inyectividad, hay que mostrar que \( x=y \), no que \( x-y \) es múltiplo de \( 15 \). Por eso preguntaba si \( x,y \) son números (por eso la notación sin nada) o son clases de equivalencia módulo \( 15 \). Ahí es donde me atasco.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Pero según la definición de inyectividad, hay que mostrar que \( x=y \), no que \( x-y \) es múltiplo de \( 15 \). Por eso preguntaba si \( x,y \) son números (por eso la notación sin nada) o son clases de equivalencia módulo \( 15 \). Ahí es donde me atasco.

Ojo, lo que hay que probar es que \( [x]_{15}=[y]_{15} \) y eso por definición significa exactamente que \( x-y \) es múltiplo de \( 15 \). Eso entendiendo que has partido de \( f([x]_{15})=f([y]_{15}) \)

Si usases la otra notación partiendo de \( f(x)=f(y) \) en seguida tendrías que dar nombre algún representante de \( x \) y de \( y \), en plan \( x=[a]_{15} \) e \( y=[b]_{15} \) porque la definición de la función \( f \) obliga a elegir un representanta de la clase cuya imagen queremos calcular. Con lo que al final estás en las mismas.

Saludos.

[manooooh]

Hola

Ha quedado claro con el hecho que mencionas aquí:

Lo único que tienes que usar en cualquier caso es que si \( z \) es divisible por \( p \) y \( q \) coprimos entonces es divisible por \( pq \).

Gracias!

En algunos casos no hace falta usar esa propiedad, creo que cuando los números son coprimos consecutivos.

Por ejemplo si \( n=2 \) y \( m=3 \), cuando llegamos a \( x-y=2k \) y \( x-y=3k' \), se hace \( 3(x-y)=6k \) y \( 2(x-y)=6k' \). Sólo con restar miembro a miembro se llega a que \( x-y=6(k-k') \) luego \( 6\mid x-y \) luego \( x\equiv y\pmod6 \) por lo tanto \( [x]_6=[y]_6 \).

¿Es correcto lo hecho para \( n=2 \) y \( m=3 \)?

Saludos