[carlosbayona]

Amigos, espero puedan ayudarme, este ejercicio forma parte de un cuestionario de análisis 1, la verdad de que no se por donde empezar, me podéis echar una mano? Mi mayor dificultad es que no entiendo que es lo que se me pide, no entiendo teoría de conjuntos, por eso se me hace tan difícil interpretar este ejercicio. Que es lo que se me pide? Espero puedan ayudarme. Aquí lo adjunto.

Calcule el módulo de la continuidad uniforme de las funciones en \( \Bbb R \),

a) \( x\to sin\left(\dfrac{1}{x}\right) \) para \( x>0 \),
b) \( x\to sin(x^2) \),
c) \( x\to x^2 \)

Donde el módulo de la continuidad uniforme de una función \( f:A\to \Bbb R \) es:

\( \varphi_f(\delta):=sup\{|f(x)-f(y)|:x,y\in A,\,|x-y|\leq \delta\} \)

para \( \delta\geq 0 \).
Mensaje corregido desde la administración.

[carlosbayona]

Por favor!! Necesito que me ayuden   

[Luis Fuentes]

Hola

Por favor!! Necesito que me ayuden   

Deberías de ser más respetuoso con las reglas del foro.

1) Usar LaTeX para las fórmulas y NO poner enunciados en imágenes adjuntas. He tenido que corregir tu mensaje.
2) Debes de poner que has intentado y concretar tus dudas.

Calcule el módulo de la continuidad uniforme de las funciones en \( \Bbb R \),

a) \( x\to sin\left(\dfrac{1}{x}\right) \) para \( x>0 \),
b) \( x\to sin(x^2) \),
c) \( x\to x^2 \)

Donde el módulo de la continuidad uniforme de una función \( f:A\to \Bbb R \) es:

\( \varphi_f(\delta):=sup\{|f(x)-f(y)|:x,y\in A,\,|x-y|\leq \delta\} \)

para \( \delta\geq 0 \).

Por ejemplo para la primera función nota que en \( x=\dfrac{1}{\frac{\pi}{2}+2k\pi} \), \( f(x)=1 \) y en \( y=\dfrac{1}{-\frac{\pi}{2}+2k\pi} \), \( f(y)=-1 \). Por tanto existen \( x,y \) tan próximos como queramos tales que \( |f(x)-f(y)|=2 \). Concluye que \( \varphi_f(\delta)=2  \)para cualquier \( \delta>0 \).

Saludos.

[carlosbayona]

Entonces para el apartado b) es igual a 2, cuando x es múltiplo de \(  \sqrt[ ]{(2n+1)\frac{π}{2}} \) y c) es igual a \( \infty \) es correcto? Corrijanme de ser necesario.

[Luis Fuentes]

Hola

Entonces para el apartado b) es igual a 2, cuando x es múltiplo de \(  \sqrt[ ]{(2n+1)\frac{\pi}{2}} \)

Si; de manera precisa tomando \( x_n=\sqrt[ ]{2n\pi+\frac{\pi}{2}} \) e \( y_n=\sqrt[ ]{2n\pi-\frac{\pi}{2}} \), teniendo en cuenta que:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}|x_n-y_n|=0 \)

y \( f(x_n)=1 \), \( f(y_n)=-1 \).

c) es igual a \( \infty \) es correcto? Corrijanme de ser necesario.

Si. Teniendo en cuenta que:

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\left(x+\dfrac{1}{n}\right)^2-x^2=\infty \)

Saludos.

[carlosbayona]

Muchas gracias