[Doraromero]

Hola, como se puede demostrar que esta sucesión converge a M.?
Sea \(  I: = [a,b]  \)  supongamos que \(  f : I \rightarrow{} R  \) es continua y que \(  f(x)\geq{0} \) para \(  x\in{R} \)
 si \(  M : = sup{f(x) : x\in{I}}  \)
Demostrar que la sucesión \(  { \left[ \displaystyle\int_{a}^{b} [ f(x) ] ^ n\right] ^ \frac{1}{n} } \) converge a M.

[Masacroso]

Hola, como se puede demostrar que esta sucesión converge a M.?
Sea \(  I: = [a,b]  \)  supongamos que \(  f : I \rightarrow{} R  \) es continua y que \(  f(x)\geq{0} \) para \(  x\in{R} \)
 si \(  M : = sup{f(x) : x\in{I}}  \)
Demostrar que la sucesión \(  { [ \int_{a}^{b} [ f(x) ] ^ n ] ^ \frac{1}{n} } \) converge a M.

Una pista: si \( M>0 \) divide la sucesión de integrales por \( M \) (si \( M=0 \) es inmediato ver que \( f=0 \)). Entonces intenta demostrar que

\( \displaystyle{
1-\epsilon \leqslant \lim_{n\to\infty}\left(\int_{a}^b g(x)^n \mathop{}\!d x\right)^{1/n}\leqslant 1,\quad \text{  para todo }\epsilon >0
} \)

donde \( g:=f/M \).

[Doraromero]

  lim sup\(  _{n\rightarrow{}\infty} (\int_{a}^{b} f^n)^\frac{1}{n} \leq{}M  \) ya que \(  \int_{a}^{b} f^n \leq{}(b-a).M^n \) y \( \sqrt[n ]{b-a}\rightarrow{}1 \)
\( (\int_{a}^{b}f^n)^\frac{1}{n}\geq{}(M- \epsilon) . \sqrt[n ]{x-y} \)
Entonces  lim inf\( _{n\rightarrow{}\infty} (\int_{a}^{b}f^n)^\frac{1}{n}\geq{}M-\epsilon \) para cada \(  \epsilon>0   \) dejando entonces
\( \epsilon\rightarrow{}0  \)
Deberia ser así?

[Masacroso]

  lim \( sup _{n\rightarrow{}\infty} (\int_{a}^{b} f^n)^\frac{1}{n} \leq{}M  \) ya que \(  \int_{a}^{b} f^n \leq{}(b-a).M^n \) y \( \sqrt[n ]{b-a}\rightarrow{}1 \)

Esto está bien.

\( (\int_{a}^{b}f^n)\frac{1}{n}\geq{}(M- \epsilon) . \sqrt[n ]{x-y} \)
Entonces \(  lim \)\(  inf_{n\rightarrow{}\infty} (\int_{a}^{b}f^n)^\frac{1}{n}\geq{}M-\epsilon \) para cada \(  \epsilon>0   \) dejando entonces
\( \epsilon\rightarrow{}0  \)
Deberia ser así?

Eso estaría bien siempre y cuando puedas justificar la desigualdad \( (\int_{a}^{b}f^n)\frac{1}{n}\geq{}(M- \epsilon) . \sqrt[n ]{x-y} \). Para eso puedes utilizar la continuidad de \( f \), es decir, sabes que existe un \( x_M\in [a,b] \) tal que \( f(x_M)=M \), y debido a que \( f \) es uniformemente continua en \( [a,b] \) entonces para un \( \epsilon >0 \) arbitrario existe un \( \delta_\epsilon  >0 \) tal que \( |f(x)-M|<\epsilon  \) para todo \( x\in I_\delta :=[x_M-\delta ,x_M+\delta ] \), es decir que puedes tomar una cota por abajo de \( f \) en un intervalo \( I_\delta  \), es decir que \( f(x)\geqslant M-\epsilon  \) en \( I_\delta  \), entonces

\( \displaystyle{
\int_{a}^b f(x)^n \mathop{}\!d x\geqslant \int_{x_M-\delta }^{x_M+\delta }(M-\epsilon )^n\mathop{}\!d x=2\delta (M-\epsilon )^n
} \)

Tomando raíces en la anterior desigualdad y el límite conforme \( n\to \infty  \) te queda que

\( \displaystyle{
\lim_{n\to\infty}\left(\int_{a}^b f(x) ^n \mathop{}\!d x\right)^{1/n}\geqslant M-\epsilon
} \)

Como \( \epsilon  \) es arbitrario concluimos que \( \lim_{n\to\infty}\left(\int_{a}^b f(x) ^n \mathop{}\!d x\right)^{1/n}\geqslant M \).