Sea \( \mathbb{K}=\mathbb{F}_3 \). En \( \mathbb{A}_{\mathbb{K}}^4 \), sean \( r \) y \( \pi \) la recta y el plano dados por
\( r: x=t,y=1+t, z=2, w=2+t \), \( \pi: x-2y-w=y-w+2z=0 \).
Hallar las ecuaciones parametricas y cartesianas del hiperplano \( H \) tal que \( P=(1,0,-2,0)\in H \), \( r\parallel H \), \( \pi \parallel H. \)
Hola, lo desarrolle de la siguiente manera:
Las ecuaciones paramétricas de la recta \( r \) son:
\( r: \begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\\{w}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{t}\\{1+t}\\{2}\\{2+t}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{0}\\{1}\\{2}\\{2}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{1}\\{1}\\{0}\\{1}\end{pmatrix}t \)
Ahora, las ecuaciones paramétricas del plano \( \pi \) son:
\( \pi: x-2y-w=0, y-w+2z=0 \). Sean \( y=\lambda \) y \( \mu=w \). Luego, \( x=2\lambda +\mu \) y \( z=\dfrac{1}{2}(\mu-\lambda) \). Entonces,
\( \pi: \begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\\{w}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
{2}&{1}\\
{1}&{0}\\
{-\dfrac{1}{2}}&{\dfrac{1}{2}}\\
{0}&{1}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\lambda}\\{\mu}\end{pmatrix} \)
Luego, tenemos que:
\( H: \begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{-2}\\{0}\end{pmatrix}+\begin{bmatrix}{1}&{2}&{1}\\{1}&{1}&{0}\\{0}&{-\dfrac{1}{2}}&{\dfrac{1}{2}}\\
{1}&{0}&{1}
\end{bmatrix}\begin{pmatrix}{\lambda_1}\\{\lambda_2}\\{\lambda_3}\end{pmatrix} \)
De aquí, podemos obtener las parametricas, haciendo:
\( x_1=1+\lambda_1+2\lambda_2+\lambda_3 \)
\( x_2=\lambda_1+\lambda_2 \)
\( x_3=-2-\dfrac{1}{2}\lambda_2+\dfrac{1}{2}\lambda_3 \)
\( x_4=\lambda_1+\lambda_3 \)
Y las ecuaciones cartesianas se reducen a calcular el determinante:
\( \text{det}\begin{bmatrix}{x-1}&{1}&{2}&{1}\\{y}&{1}&{1}&{0}\\
{z+2}&{0}&{-\dfrac{1}{2}}&{\dfrac{1}{2}}\\
{w} & {1} & {0} & {1}
\end{bmatrix}=0 \)
Resolviendo por la primera columna tenemos que \( -x+y-2z-3=0 \), es la ecuación cartesiana del hiperplano \( H. \)
¿Esta bien?
