Buenas, he puesto este tema en el de matemática aplicada por ser un caso particular de coordenadas astronómicas, pero perfectamente podría haber ido en el de geometría, porque al final se trata de aplicar un giro.
Para las coordenadas horizontales estamos usando los vectores unitarios \( \{ \overline{Z}_{1}, \overline{Z}_{2}, \overline{Z}_{3}\} \) y los ángulos azimut \( A \in [0, 2\pi) \) y distancia cenital \( z \in [0, \pi] \). \( \overline{Z}_{3} \) es el que apunta a nuestro zenit (ortogonal a nuestro plano del horizonte). \( \overline{Z}_{1} \) es el que apunta desde nuestra posición hacia el Oeste. \( \overline{Z}_{2} = \overline{Z}_{3} \times \overline{Z}_{1} \)
Para las coordenadas horarias estamos usando los vectores unitarios \( \{\overline{P}_{1}, \overline{P}_{2}, \overline{P}_{3}\} \) y los ángulos horarios \( H \in [0, 2\pi) \) y declinación \( \delta \in [-\pi/2, \pi/2] \). \( \overline{P}_{3} \) es el ortogonal al paralelo que nos contiene. \( \overline{P}_{1} \) es el que apunta desde nuestra posición hacia el Oeste. \( \overline{P}_{2} = \overline{P}_{3} \times \overline{P}_{1} \).
Como \( \overline{Z}_{1} = \overline{P}_{1} \), el resto de vectores están todos contenidos en el mismo plano.
Si nuestra posición está a una latitud geográfica \( \phi \), entonces \( \{\overline{P}_{2}, \overline{P}_{3}\} \) son los resultantes de hacer el giro de ángulo \( \pi/2 - \phi \) en sentido horario --en el plano que los contiene-- a \( \{\overline{Z}_{2}, \overline{Z}_{3}\} \). A su vez, \( \{\overline{Z}_{2}, \overline{Z}_{3}\} \) será el resultado de aplicar el giro en sentido antihorario a \( \{\overline{P}_{2}, \overline{P}_{3}\} \).
En los conceptos hasta aquí coincidimos todos los compañeros. El tema es que al aplicarlo no obtenemos los resultados que en teoría deberíamos obtener. Mientras que algunos obtenemos que
\( \left\{ \begin{array}{rccll}
\overline{Z}_{2} & = & \sin \phi \overline{P}_{2} & + & \cos \phi \overline{P}_{3}\\
\overline{Z}_{3} & = & - \cos \phi \overline{P}_{2} & + & \sin \phi \overline{P}_{3}
\end{array}\right. \) al aplicar el giro a los vectores \( (1, 0)_{<\{\overline{P}_{2}, \overline{P}_{3}\}>} \) y \( (0, 1)_{<\{\overline{P}_{2}, \overline{P}_{3}\}>} \);
otros dicen que se obtiene de
\( \begin{pmatrix} \overline{Z}_{2} \\ \overline{Z}_{3} \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} \cos (\pi/2 - \phi) & -\sin(\pi/2 - \phi) \\ \sin(\pi/2 - \phi) & \cos(\pi/2 - \phi) \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \overline{P}_{2} \\ \overline{P}_{3} \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} \sin \phi \overline{P}_{2} - \cos \phi \overline{P}_{3} \\ \cos \phi \overline{P}_{2} + \sin \phi \overline{P}_{3} \end{pmatrix} \)
Como ni siquiera coincidimos en eso, no coincidimos en las transformaciones restantes. ¿Alguna aportación? Sé que parece largo por haber mucho texto, pero es bastante simple en el fondo.
Gracias y un saludo.
