[Julio_fmat]

Sean \( \Lambda_1: x_1-x_6=x_2-x_5=x_3-x_4=0 \), \( \Lambda_2: x_1-x_3-x_5+x_6=x_4+x_5-2x_6=0 \) en \( \mathbb{P}_{\mathbb{R}}^5 \). Calcular \( \dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1+\Lambda_2) \) y \( \dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1\cap \Lambda_2) \).

Hola, por la formula de Grassmann tenemos que \( \dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1+\Lambda_2)=\dim_{\mathbb{R}}\Lambda_1+\dim_{\mathbb{R}}\Lambda_2-\dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1\cap \Lambda_2) \), de donde se tiene que \( \dim_{\mathbb{R}}\Lambda_1=5-3=2 \), \( \dim_{\mathbb{R}}\Lambda_2=5-2=3. \) Luego, \( \Lambda_1\cap \Lambda_2: x_1=x_6, x_2=x_5, x_3=x_4 \), y \( \begin{pmatrix}x_1\\{x_2}\\{x_3}\\{x_4}\\{x_5}\\{x_6}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{1}&{0}\\
{0}&{1}\\
{2}&{-1}\\
{2}&{-1}\\
{0}&{1}\\
{1}&{0}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\lambda_1}\\{\lambda_2}\end{pmatrix} \) se tiene el sistema de 2 ecuaciones y 6 variables. Por tanto, \( \dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1\cap \Lambda_2)=5-4=1. \) Luego, \( \dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1+\Lambda_2)=2+3-1=4. \) ¿Esta bien?

[Luis Fuentes]

Hola

Sean \( \Lambda_1: x_1-x_6=x_2-x_5=x_3-x_4=0 \), \( \Lambda_2: x_1-x_3-x_5+x_6=x_4+x_5-2x_6=0 \) en \( \mathbb{P}_{\mathbb{R}}^5 \). Calcular \( \dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1+\Lambda_2) \) y \( \dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1\cap \Lambda_2) \).

Hola, por la formula de Grassmann tenemos que \( \dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1+\Lambda_2)=\dim_{\mathbb{R}}\Lambda_1+\dim_{\mathbb{R}}\Lambda_2-\dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1\cap \Lambda_2) \), de donde se tiene que \( \dim_{\mathbb{R}}\Lambda_1=5-3=2 \), \( \dim_{\mathbb{R}}\Lambda_2=5-2=3. \) Luego, \( \Lambda_1\cap \Lambda_2: x_1=x_6, x_2=x_5, x_3=x_4 \), y \( \color{blue}\begin{pmatrix}x_1\\{x_2}\\{x_3}\\{x_4}\\{x_5}\\{x_6}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{1}&{0}\\
{0}&{1}\\
{2}&{-1}\\
{2}&{-1}\\
{0}&{1}\\
{1}&{0}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\lambda_1}\\{\lambda_2}\end{pmatrix}\color{black} \) se tiene el sistema de 2 ecuaciones y 6 variables. Por tanto, \( \dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1\cap \Lambda_2)=5-4=1. \) Luego, \( \dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1+\Lambda_2)=2+3-1=4. \) ¿Esta bien?

El resultado es correcto; pero es raro como has redactado la solución.

Lo que está en rojo no son las ecuaciones de la intersección, sino solo de \( \lambda_1 \).

Para la intersección tendrías que añadir las de  \( \lambda_2 \). Entonces verías que entre todas hay una dependiente y por tanto cuatro independientes.

De ahí deducirías lo que has escrito:

\( \dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1\cap \Lambda_2)=5-4=1. \)

Luego, lo que he marcado en azul son las paramétricas de la intersección que en realidad no te las piden.

Saludos.

[Julio_fmat]

Muchas Gracias el_manco, me ha quedado claro ahora.

Saludos.